Обозначим точку пересечения прямых NX и O1O2 за точку M. Так как NX является общей касательной для окружностей w1 и w2 и проходит через точку пересечения их центров O1 и O2, то точка M является серединой отрезка O1O2. Обозначим длину отрезка O1O2 за d, то есть OM = d/2. Также обозначим радиусы окружностей w1 и w2 через R1 и R2 соответственно.
Так как YN и YZ являются касательными к окружностям w1 и w2, то угол YO1X равен прямому углу, так как MO1 перпендикулярна к YN. Аналогично, угол ZO2X равен прямому углу.
Обозначим длину отрезков MY и MX через a и b соответственно. Тогда MY = R1 - a и MX = R2 - b. Так как MO1 и MO2 перпендикулярны к NX, то MO1 = MO2 = d/2.
Также, так как MY параллельна O1N, то по степенной теореме имеем следующее:
MY^2 = MZ * MN = (R1 - a)^2
Аналогично, для MX имеем:
MX^2 = MZ * MN = (R2 - b)^2
Из полученных равенств можно выразить a и b через MY и MX:
a = R1 - sqrt(MY^2) и b = R2 - sqrt(MX^2)
Теперь посмотрим на треугольник YNZ. Из свойства касательных и центральных углов встретившегося с ними дуги имеем:
угол YNZ = 180 - угол O1YM - угол O2ZM
Так как O1Y и O2Z являются радиусами окружностей w1 и w2, то имеем следующее:
угол O1YM = угол O1YO2 - угол O2YM = угол YO1X - угол MYO2
имеем следующее:
угол YNZ = 180 - (угол YO1X - угол MYO2) - угол ZO2X = угол ZO2X + угол MYO2 - угол YO1X
Из условия задачи также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Поэтому, в 2 раза больше угла YNZ равно углу YO1X + ZO2X:
2 * угол YNZ = угол YO1X + ZO2X
Из этого равенства можно выразить угол YNZ через углы YO1X и ZO2X:
угол YNZ = (угол YO1X + ZO2X) / 2
Теперь зная угол YNZ, можно найти все требуемые отрезки. Обозначим XN через c, тогда теорема синусов для треугольника XYN дает нам следующее:
sin(YNZ) = XY / XN
Известно, что YNZ равняется углу YO1X + ZO2X/2, поэтому:
sin((угол YO1X + ZO2X) / 2) = XY / XN
Также, есть теорема синусов для треугольника O1MX:
sin(угол MYO2) = MX / MO1
Известно, что MYO2 равняется углу ZO2X, поэтому:
sin(угол ZO2X) = MX / MO1
Соответственно, имеем следующее:
MX = sin(угол ZO2X) * MO1
Из подобных треугольников O1YM и MYX следует, что MY / MO1 = MX / XM, то есть
MY = (MX * MO1) / XM
Тогда выразим MY через MX:
MY = (sin(угол ZO2X) * MO1 * MO1) / XM = (sin(угол ZO2X) * (d/2) * (d/2)) / XM
Теперь запишем уравнение для угла YNZ через найденные величины:
угол YNZ = (угол YO1X + ZO2X) / 2 = (90 + 90 - MYO2) / 2 = (90 + 90 - ZO2X) / 2 = 180 - угол ZO2X / 2
Подставим полученное равенство для угла YNZ в уравнение для синуса угла YNZ:
sin((180 - угол ZO2X / 2) = MY / XN
Также, по теореме синусов для треугольника O2NZ:
sin(ZO2X/2) = NZ / O2N
Тогда из данных равенств можно выразить NZ через MY и XN:
NZ = (sin((180 - угол ZO2X / 2)) * XN) / sin(ZO2X/2)
Теперь обратимся к треугольнику NZM. Угол NZM равен углу ZO2X:
угол NZM = угол ZO2X
По теореме синусов для этого треугольника:
sin(угол NZM) = NZ / NM
Тогда NM можно выразить через NZ:
NM = NZ / sin(угол NZM) = NZ / sin(ZO2X) = (sin((180 - угол ZO2X / 2)) * XN) / (sin(ZO2X) * sin(ZO2X/2))
Теперь найдем неизвестный отрезок XY. В треугольнике XYN применим теорему синусов:
sin(YNZ) = XY / XN
Тогда XY можно выразить через XN и YNZ:
XY = XN * sin(YNZ)
Таким образом, мы выразили все неизвестные отрезки через заданные параметры R1, R2 и d. Для нахождения отношения длин отрезков YZ и NX необходимо разделить длину отрезка YZ на длину отрезка NX:
отношение = YZ / NX = (NY + NZ) / XM = (NY + NZ) / (XM * 2) = (NY + NZ) / (R1 + R2 - x)
, где х]= HY] - MX = R1 - (sin(угол ZO2X) * (d/2) / (sin(угол ZO2X) * (d/2) + R2 - (sin(угол YO1X) * (d/2)
Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно (NY + NZ) / (R1 + R2 - x), где x = R1 - (sin(угол ZO2X) * (d/2) / (sin(угол ZO2X) * (d/2) + R2 - (sin(угол YO1X) * (d/2).
