Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и центральных углов окружностей. Пусть точки M и P — точки касания касательных NY и NZ с окружностями w1 и w2 соответственно. Тогда мы можем заметить, что треугольники YPM и ZNM подобны (по теореме о треугольниках, заданных касательными к одной окружности). То есть, углы YPM и ZNM равны друг другу. Также, углы YO1X и ZO2X равны друг другу, так как они опираются на дугу, заключающую данный угол (теорема об инсценированных углах или углах, опирающихся на одну и ту же хорду). Теперь мы можем выразить угол YNZ через углы, данные в условии: YNZ = YPM + YO1X + ZO2X = YPM + YO1X + YO1X = YPM + 2 * YO1X. Также данный угол опирается на дугу YZ между точками M и P. По свойству центрального угла, этот угол равен половине угла MO1P, где O1 — центр окружности w1. Из этого следует: YNZ = (1/2) * MO1P. Осталось только связать отношение длин YZ и NX соответствующими углами. Если мы посмотрим на треугольники NO1X и NO2X, то заметим, что они подобны (по двум равным углам YO1X и ZO2X). Поэтому мы можем написать: NX / YZ = NO1X / YO1X. Но мы уже знаем, что NO1X = NX + XO1 и XO1 = YO1X (так как треугольники XO1O2 и YO1O2 подобны, и мы знаем длины двух сторон первого треугольника). Подставляем это в предыдущее выражение: NX / YZ = (NX + YO1X) / YO1X. Теперь нам нужно выразить YO1X через остальные данные. Для этого вернемся к треугольникам YPM и ZNM. Пусть r1 и r2 — радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Тогда YO1X = r1 - YP и ZO2X = r2 - ZN. Исходя из свойства касательных и окружностей, мы можем сказать, что YP = NY и ZN = NZ. Заменяем это в предыдущем уравнении: NX / YZ = (NX + r1 - NY) / (r1 - NY). Теперь осталось связать угол YNZ со сторонами треугольника NO1P. Обратимся к треугольнику NO1P. Мы уже знаем, что углы YPM и ZNM равны друг другу. Также угол YPM = (1/2) * MO1P (как было доказано ранее). Исходя из этого, можем написать уравнение: YNZ = (1/2) * MO1P = (1/2) * (2 * YPM) = YPM = NY. Заменяем это в предыдущий результат: NX / YZ = (NX + r1 - YNZ) / (r1 - YNZ). Теперь мы можем решить данное уравнение: NX * (r1 - YNZ) = YZ * (NX + r1 - YNZ), NX * r1 - NX * YNZ = YZ * NX + YZ * r1 - YZ * YNZ, NYZ = YZ * (NX - YNZ). Таким образом, получаем, что отношение длин YZ и NX равно YNZ.