Полуплоскость является выпуклой фигурой потому, что она удовлетворяет определению выпуклого множества. По определению, множество является выпуклым, если любой отрезок, соединяющий две точки внутри множества, также лежит внутри этого множества. Рассмотрим полуплоскость, заданную неравенством вида Ax + By ≤ C (где A, B и C - некоторые фиксированные коэффициенты, а x и y - переменные). Как можно заметить, все точки, для которых неравенство выполняется, лежат внутри полуплоскости. Допустим, у нас есть две точки A и B, принадлежащие полуплоскости. Обозначим их координаты как (x1, y1) и (x2, y2) соответственно. Мы можем построить отрезок AB, который соединяет эти две точки. Так как неравенство дает нам ограничения на значения x и y, можем заметить, что все точки на отрезке AB также удовлетворяют неравенству. Это происходит потому, что значения x и y меняются линейно по отрезку и неравенство не теряет своего значения. Это означает, что отрезок AB лежит внутри полуплоскости. Таким образом, мы видим, что все отрезки, соединяющие две точки внутри полуплоскости, также лежат внутри нее. Это соответствует определению выпуклого множества, поэтому полуплоскость является выпуклой фигурой.