Полуплоскость является одним из примеров выпуклых фигур в геометрии. Чтобы понять, почему полуплоскость является выпуклой фигурой, необходимо вспомнить определение выпуклости. Выпуклый многогранник или фигура – это множество точек, удовлетворяющих условию: каждый отрезок, соединяющий две точки внутри фигуры, лежит полностью внутри фигуры. Полуплоскость – это подмножество плоскости или гиперплоскости, соответствующая одной из двух полуплоскостей, образованных при разделении плоскости на две части прямой. Если гиперплоскость является границей полуплоскости, то называется замкнутой полуплоскостью. Если границей является прямая, то называется полуплоскостью, не замкнутой, или полуоткрытой. Докажем, что полуплоскость является выпуклой фигурой, используя определение выпуклости. Полуплоскость определяется неравенством. Например, для полуплоскости, расположенной ниже некоторой прямой, неравенство имеет вид Ax + By ≤ C, где (A, B) – вектор нормали к границе полуплоскости, (x, y) – произвольная точка полуплоскости, а C – константа. Возьмем две произвольные точки (x1, y1) и (x2, y2) внутри полуплоскости. Для доказательства выпуклости необходимо показать, что отрезок, соединяющий эти две точки, полностью лежит внутри полуплоскости. Пусть точка A = (x1, y1), точка B = (x2, y2), их соединяющий отрезок обозначим AB. Начнем с предположения, что точка A находится на границе полуплоскости. Это означает, что Ax1 + By1 = C. Теперь, если координаты точки В также удовлетворяют этому условию (Ax2 + By2 = C), отсюда следует, что точка B также находится на границе полуплоскости, и отрезок АВ будет лежать полностью на границе, и, следовательно, внутри полуплоскости. Однако мы можем рассмотреть и другие случаи. Предположим, что точки А и В находятся внутри полуплоскости, но не лежат на границе. Зная неравенство, определяющее полуплоскость, выражаемое как Ax + By ≤ C, и подставляя координаты точек A и B, получим неравенства Ax1 + By1 ≤ C и Ax2 + By2 ≤ C. Теперь рассмотрим произвольную точку P на отрезке AB. Поскольку точка P находится на отрезке, удовлетворяющем условиям Ax1 + By1 ≤ C и Ax2 + By2 ≤ C, то она удовлетворяет линейной комбинации этих неравенств. Пусть t – произвольное число в интервале [0, 1], выражающее отношение расстояния между точками A и P к расстоянию между точками A и B. Тогда координаты точки P можно записать следующим образом: x = (1 - t)x1 + tx2 y = (1 - t)y1 + ty2, при 0 ≤ t ≤ 1. Подставляя эти значения в неравенства, получим: A[(1 - t)x1 + tx2] + B[(1 - t)y1 + ty2] ≤ C, что эквивалентно: (1 - t)(Ax1 + By1) + t(Ax2 + By2) ≤ C. Так как Ax1 + By1 ≤ C и Ax2 + By2 ≤ C, то получаем, что (1 - t)(Ax1 + By1) + t(Ax2 + By2) ≤ C. Таким образом, для любой точки P на отрезке AB выполняется неравенство, определяющее полуплоскость. Это означает, что отрезок AB полностью лежит внутри полуплоскости. Таким образом, мы доказали, что полуплоскость является выпуклой фигурой, так как каждый отрезок, соединяющий две точки, лежит полностью внутри фигуры. Важно отметить, что представленное доказательство применимо к двумерным полуплоскостям, но аналогичное рассуждение можно провести и для полуплоскостей в пространстве. Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, почему полуплоскость является выпуклой фигурой.