Для решения данной задачи воспользуемся формулой математического ожидания для дискретной случайной величины:
E(X) = Σ(x * P(X = x)),
где Е(X) — математическое ожидание,
Σ — сумма,
х — значения случайной величины,
P(X = x) — вероятность, что случайная величина принимает значение х.
Для решения задачи посчитаем сначала вероятность прохождения каждого теста. По условию, вероятность непрохождения теста с номером k равна (k+1)^-2. Соответственно, вероятность прохождения теста равна 1 - (k+1)^-2.
Теперь рассмотрим случайную величину К — номер дня, когда приложение пройдёт тест номер 99. Вероятность того, что приложение пройдёт тест номер 99 на k-м дне, равна вероятности прохождения всех предыдущих тестов (т.е. прохода тестов с номерами от 1 до 98) и непрохождения теста с номером 99 на предыдущих днях, а затем прохождения теста с номером 99 именно на k-м дне. Следовательно, вероятность того, что К = k, равна произведению вероятностей непрохождения первых 98 тестов и прохождения теста с номером 99.
Теперь мы можем выразить искомое математическое ожидание K через вероятности непрохождения и прохождения теста:
E(K) = Σ(k * P(K = k)) ,
где Е(K) — математическое ожидание числа K,
Σ — сумма,
k — значения случайной величины K,
P(K = k) — вероятность, что случайная величина K принимает значение k.
Для нахождения математического ожидания Е(K) применим формулу:
E(K) = Σ(k * P(X = k)),
= Σ(k * (вероятность непрохождения первых 98 тестов) * вероятность прохождения теста с номером 99 на k-м дне).
Теперь рассмотрим данную сумму более подробно. Как мы ранее выяснили, вероятность непрохождения первых 98 тестов равна произведению вероятностей непрохождения каждого теста от 1 до 98:
P(X = 1) * P(X = 2) * ... * P(X = 98) = (1 - (1+1)^-2) * (1 - (2+1)^-2) * ... * (1 - (98+1)^-2).
Также заметим, что вероятность прохождения теста с номером 99 на k-м дне равна вероятности непрохождения первых 98 тестов, умноженной на вероятность прохождения теста с номером 99 именно на k-м дне:
P(K = k) = (1 - (1+1)^-2) * (1 - (2+1)^-2) * ... * (1 - (98+1)^-2) * (1 - (99+1)^-2) * (99+1)^-2.
Таким образом, мы получили вид вероятности P(K = k) для разных значений k.
Теперь можем переписать формулу для математического ожидания Е(K):
E(K) = Σ(k * P(K = k))
= Σ(k * (1 - (1+1)^-2) * (1 - (2+1)^-2) * ... * (1 - (98+1)^-2) * (1 - (99+1)^-2) * (99+1)^-2).
Для вычисления этой суммы можно воспользоваться циклом или алгоритмом. Результат суммы будет искомым математическим ожиданием Е(K).
Примером реализации данного алгоритма может служить код ниже на языке Python:
python
K = 99 # номер теста, который приложение должно пройти
probability = 1 # вероятность непрохождения первых 98 тестов
E_K = 0
for k in range(1, K+1):
probability *= (1 - (k+1)**-2)
E_K += k * probability
print(E_K)
Результат выполнения данного кода будет являться искомым математическим ожиданием Е(K).
