Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на то, какие условия необходимо выполнить, чтобы заданная ломаная не была замкнутой. Замкнутая ломаная может быть получена, если соединить все пять точек в разной последовательности. Давайте рассмотрим возможные варианты: 1. В ломаной ни одна из точек не должна быть соединена с более чем двумя другими точками. 2. В каждой из точек, не являющейся концом ломаной, должно сходиться две линии. 3. Никакие три точки не должны лежать на одной прямой. Условие номер 1 означает, что первая точка ломаной должна быть соединена с четырьмя другими точками. После этого стартовую точку можно откинуть, потому что ее положение не имеет значения. Значит, у нас остается только 4 точки и 4 варианта соединения следующей точки. Последующая точка должна быть соединена с двумя предыдущими и двумя следующими точками. Поэтому остается только 2 варианта. Условие номер 2 может быть выполнено только в одном случае - когда с первой точкой ломаной соединяются сразу две другие точки. Это может быть сделано только двумя различными способами. Условие номер 3 ограничивает возможные варианты соединения последующих точек. Рассмотрим, какие точки могут быть соединены после второй точки. После соединения первой и второй точек мы фактически создали отрезок. Другие точки должны лежать на одной из сторон этого отрезка. Каждая из других трех точек может лежать либо слева, либо справа от этого отрезка. Поэтому существует 2x2x2=8 различных комбинаций расположения других трех точек относительно отрезка, образованного первой и второй точками. Таким образом, общее количество ломаных, удовлетворяющих всем условиям, равно произведению количества вариантов для каждого условия: 4x2x2x2x8=128. Ответ: существует 128 различных замкнутых ломаных, проходящих через заданные 5 точек.