Дана задача, в которой требуется найти угол ADC в параллелограмме ABCD, где AD ┴ DE. Также известно, что точка E является серединой стороны AD, то есть AE = EB.
Построим параллелограмм ABCD и отметим точку E на стороне AD. Затем проведем диагональ BD, которая будет пересекаться с стороной AD в точке E, так как они диагонали параллелограмма. Так как AE = EB, то точка E является серединой стороны AD, и поэтому DE ┴ AB.
Построим квадрат BECK на диагонали BD. Так как BD является диагональю параллелограмма, то она делит его на два равных треугольника, в которых сторона AB является общей границей. То есть треугольники ABE и CEB равнобедренные.
Так как AE = EB, то угол ABE = угол BAE. Также угол CEB = угол EBC, так как это равнобедренные треугольники. Поскольку их сторона AB общая, то угол AEB = угол ABC.
Рассмотрим треугольники ADE и CBE. У них AE = EB и DE ┴ BC. То есть это треугольники, подобные треугольникам AEB и CEB. Подобные треугольники имеют равные отношения длин соответствующих сторон. Так как AE = EB, то отношение длин сторон AE и DE равно отношению длин сторон BE и EC.
Обозначим стороны треугольников ADE и CBE соответственно как a, b, и c. Тогда имеем:
AE / DE = BE / EC
ae / (a + b) = b / c
ae * c = b * (a + b)
ac + bc = ab
ac = ab - bc
ac = b(a - c)
Таким образом, имеем уравнение ac = b(a - c), которое показывает отношение длин сторон треугольников ADE и CBE. Оно также отражает отношение градусов углов ADE и CBE.
В параллелограмме ABCD угол ADC и угол ABC смежные углы, поэтому они составляют линию, и их сумма равна 180 градусам. Также углы ADE и CBE между параллельными линиями AD и BC, поэтому они равны. Обозначим этот угол как x.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
ADC + ABC = 180 градусов (1)
ADE + CBE = x градусов (2)
ADE / CBE = ac / b (3)
Исходя из уравнения (2), заметим, что треугольники ADE и CBE обладают одинаковыми углами ADE и CBE, значит треугольники ADE и CBE равны.
Теперь из уравнения (1) и замечания, что ABCD это параллелограмм, получаем, что
ADC + ABC + ACD + ABD = 360 градусов,
где ACD и ABD это топологически противоположные углы.
Учитывая, что ABCD это параллелограмм, углы ACD и ABD также равны, поэтому ACD = ABD = y (назовем этот угол y).
Теперь у нас есть система:
ADC + ABC = 180 градусов (1)
ADE + CBE = x градусов (2)
ADC + ABC + ACD + ABD = 360 градусов (4)
ACD = ABD = y (5)
Подставим уравнение (5) в уравнение (4):
ADC + ABC + y + y = 360 градусов
ADC + ABC + 2y = 360 градусов
Очевидно, что ADC + ABC = 180 градусов, поэтому получаем:
180 градусов + 2y = 360 градусов
2y = 360 градусов - 180 градусов
2y = 180 градусов
y = 180 градусов / 2
y = 90 градусов
Таким образом, мы нашли, что угол ACD (или ABD) равен 90 градусам.
В уравнении (3) заменим ade на 90 градусов, тогда оно примет вид:
90 градусов / cbe = ac / b
ac = 90 градусов * b / cbe
ac = 90b / cbe
Теперь заметим, что AE = EB, тогда ae = b и ac = 90b / cbe можно использовать для того, чтобы заменить a и ac в уравнении (3):
ae / cbe = ae * c / b
Оба выражения ae и ae / cbe равны 1, так как ранее было сказано, что AE = EB. Поэтому получаем уравнение:
1 = c / b
c = b
Теперь мы получили, что c = b, то есть сторона с равна стороне b. В параллелограмме ABCD две стороны параллельны, поэтому угол ADC и угол ABC равны одному стороннему углу. То есть:
угол ADC = угол ABC = x
Теперь у нас есть система:
ADC + ABC = 180 градусов (1)
ADE + CBE = x градусов (2)
ADC = ABC = x
Подставим значения ADC и ABC из уравнения (2) в уравнение (1):
x + x = 180 градусов
2x = 180 градусов
x = 180 градусов / 2
x = 90 градусов
Итак, мы нашли, что угол ADC (и угол ABC) равен 90 градусам.
