Пусть угол DCB равен x градусов. Посмотрим на параллелограм ABCD и квадрат APBQ. Так как параллелограмм, то противоположные стороны равны. То есть, AD = CB и AB = CD. Также из условия задачи мы знаем, что AQ = DQ. Из этого мы можем составить равенства сторон для треугольников ADQ и CBQ: AQ = DQ (по условию задачи) AD = CB (по свойству параллелограмма) Заметим, что треугольники ADQ и CBQ - прямоугольные. Так как AB попал на диагональ, то угол ABQ прямой. Из этого следует, что угол DQA тоже прямой. Таким образом, треугольники ADQ и CBQ – прямоугольные с общим углом DQA. Значит, эти треугольники подобны. Поэтому отношение длин их сторон будет одинаковое: AD / CD = AQ / CB Так как AD = CB, то это равенство можно записать как: AD / CD = AQ / AD Теперь подставим известное значение AQ = DQ: AD / CD = DQ / AD Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (AD / CD)^2 = (DQ / AD)^2 Так как AD = CB и AQ = DQ, имеем: (CB / CD)^2 = (AQ / CB)^2 Упростим: (CB / CD)^2 = (AQ / CB)^2 CB^2 / CD^2 = AQ^2 / CB^2 CB^4 = CD^2 * AQ^2 Так как CB = AD, имеем: AD^4 = CD^2 * AQ^2 Теперь выразим AQ через AD и x (угол DCB): AQ = AD * sin(x) Подставим это значение в уравнение: AD^4 = CD^2 * (AD * sin(x))^2 AD^4 = CD^2 * AD^2 * sin(x)^2 Упростим: AD^2 = CD^2 * sin(x)^2 Теперь выразим CD через AD: CD = AB (CD / AD) = (AB / AD) Угол DCB острый, так как AD = CB, а на рисунке видно, что сторона CD меньше стороны AD. То есть, 0 < CD / AD < 1 Также угол DCB острый из-за того, что в квадрате APBQ угол ABP меньше 90 градусов, и угол DCB будет находиться в той же четверти плоскости, что и угол ABP. Таким образом, sin(x) > 0 Из этого следует: 0 < (CD / AD) < 1 Умножим обе части уравнения на AD^2: 0 < CD^2 < AD^2 Теперь подставим эти неравенства в полученное уравнение: CD^2 * sin(x)^2 < CD^2 * AD^2 < AD^2 Мы знаем, что CD = AB и AD = CB, поэтому: AB^2 * sin(x)^2 < AB^2 * CB^2 < CB^2 Упростим: sin(x)^2 < CB^2 < 1 Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: sin(x)^4 < CB^4 < 1 Но мы уже получили, что CB^4 = CD^2 * AQ^2: sin(x)^4 < CD^2 * AQ^2 < 1 ||CD^2 * AQ^2|| = ||CD * AQ||^2 Так как AQ = DQ, то DQ + AQ = 2 * AQ: CD * (DQ + AQ)^2 < 1 Раскроем скобки: CD * (AQ^2 + 2 * AQ * DQ + DQ^2) < 1 Так как AQ = DQ, то это можно записать как: CD * (AQ^2 + 2 * AQ^2 + AQ^2) < 1 CD * (4 * AQ^2) < 1 Умножим обе части уравнения на AQ^2: CD * (4 * AQ^2 * AQ^2) < AQ^2 CD * (4 * AQ^4) < AQ^2 Так как AQ = AD * sin(x), то: CD * (4 * (AD * sin(x))^4) < (AD * sin(x))^2 Так как CD = AB, то: AB * (4 * (AD * sin(x))^4) < (AD * sin(x))^2 Разделим обе части уравнения на (AD * sin(x))^2: AB * (4 * (AD * sin(x))^4) / (AD * sin(x))^2 < 1 Упростим: AB * (4 * (AD * sin(x))^2) < 1 Вспомним, что AD = CB, и заменим AD на CB в уравнении: AB * (4 * (CB * sin(x))^2) < 1 Так как CB = AB, то: AB * (4 * (AB * sin(x))^2) < 1 Вспомним, что AB = CD, и заменим AB на CD в уравнении: CD * (4 * (CD * sin(x))^2) < 1 Упростим: 4 * (CD * sin(x))^3 < 1 Теперь разделим обе части уравнения на 4: (CD * sin(x))^3 < 1 / 4 Возведем обе части уравнения в 1/3 степень, чтобы избавиться от куба: (CD * sin(x)) < (1 / 4)^(1 / 3) Упростим: CD * sin(x) < (1/8)^(1/3) Так как CD = AB, а AB – сторона квадрата, длина которой равна стороне параллелограмма, то: AB * sin(x) < (1 / 8)^(1 / 3) А так как параллелограмм ABCD – параллелограмм, а значит, углы ABC и BCD равны, то: sin(x) = sin(ABC) = sin(BCD) Поэтому: AB * sin(ABC) < (1 / 8)^(1 / 3) Так как AB = CD, имеем: CD * sin(ABC) < (1 / 8)^(1 / 3) Таким образом, мы получили, что произведение стороны параллелограмма на синус одного из углов меньше (1/8)^(1/3). Теперь рассмотрим другую сторону квадрата – сторону AP. Так как квадрат, то угол BAP прямой. Означает, что угол PAC равен 180 градусов минус угол BAP. Получается, что PAC = 180 - BAP. Так как AD = CB, и параллелограмм ABCD – параллельный. То можно сделать вывод, что BAP = ADP, PAC = CDP. Так как углы PAC и CDP – это комплиментарные углы, то: PAC + CDP = 90 градусов. Так как PAC = 180 - BAP, то: 180 - BAP + CDP = 90 градусов. Тогда получаем, что CDQ тоже равен 90 градусов. Получается, что треугольники CDQ и DPQ прямоугольные, и у них общий угол D = 90 градусов. Означает, что треугольники CDQ и DPQ – прямоугольные и с общим прямым углом D. То эти треугольники подобны. То отношение длин их сторон будет одинаковое: DC / DP = DQ / DQ То есть: DC / DP = 1 Теперь рассмотрим отношение сторон: DC / DP = DC / (DQ + QP) Так как AD = CB, и параллелограмм ABCD – параллельный. То можно сделать вывод, что AQ = DQ, PQ = PB. То есть: DC / DP = DC / (AQ + PQ) То есть: DC / DP = DC / (DQ + PB) Заметим, что треугольники CDQ и DPB – одинаковые. Так как у них общий прямой угол D и стороны, принадлежащие прямому углу, равны. То эти треугольники равны и отношение их сторон также будет равно. То есть: DC / DP = DQ / PB Так как AQ = DQ и PQ = PB, то: DC / DP = AQ / PQ Из условия задачи мы знаем, что AQ = DQ. То есть: DC / DP = DQ / PQ То есть: DC / DP = 1 Тогда получается, что сторона DP равна стороне DC. Так как угол DCP – это прямой угол, а раз DCP = DCB + BCP, то: DCB + BCP = 90 градусов. Так как BCP = 45 градусов, то: DCB + 45 градусов = 90 градусов. Tаким образом, получаем: DCB = 90 - 45 = 45 градусов. Ответ: угол DCB равен 45 градусов.