Для начала введем обозначения: пусть точки M, K, N делят ребра SA, SB и DC в соотношениях $frac{SM}{SA}=frac{SK}{SB}=frac{DN}{DC}=n$. Обозначим точку пересечения отрезков MK и AB через точку P.
Из теоремы Банаха-Штейнгауза известно, что если в треугольниках SMP и SAP соответствующие стороны пропорциональны, то их высоты также пропорциональны. Из этого следует, что отношение высот данных треугольников будет равно отношению сторон SM и SA:
$$
frac{h_{MPS}}{h_{SAP}}=frac{SM}{SA}=n.
$$
Аналогично можно получить, что $frac{h_{KPN}}{h_{SBP}}=n$.
Так как отрезки MMK, PP и NKP параллельны, то можно применить аналогичное рассуждение и получить: $frac{h_{MKS}}{h_{SBP}}=n$ и $frac{h_{KMP}}{h_{SAP}}=n$.
Обозначим высоты треугольников SMP и SBP через $h_1$ и $h_2$ соответственно. Тогда по определению:
$$
h_{MKS}=h_1-h_2.
$$
Аналогично:
$$
h_{KMP}=h_2-h_1.
$$
Из приведенных выше равенств получаем систему уравнений:
$$
begin{cases}
n=frac{h_1}{h_{SAP}},\
n=frac{h_1-h_2}{h_{SBP}},\
n=frac{h_2}{h_{SBP}},\
n=frac{h_2-h_1}{h_{SAP}}.
end{cases}
$$
Приведем систему к виду, удобному для решения:
$$
begin{cases}
h_1 = n h_{SAP},\
(h_1-h_2)h_{SBP} = n h_1,\
h_2 = n h_{SBP},\
(h_2-h_1)h_{SAP}=n h_2.
end{cases}
$$
Заметим, что в произведениях $(h_1-h_2)h_{SBP}$ и $(h_2-h_1)h_{SAP}$ стоят разности, которые можно представить в виде: $h_1-h_2 = h_1 - nh_{SBP}$ и $h_2 - h_1 = h_2 - nh_{SAP}$. Подставим эти значения в систему и преобразуем ее:
$$
begin{cases}
h_1 = n h_{SAP},\
(h_1-nh_{SBP})h_{SBP} = n h_1,\
h_2 = n h_{SBP},\
(h_2-nh_{SAP})h_{SAP}=n h_2.
end{cases}
$$
Подставим полученные равенства в уравнение 2 системы:
$$
(nh_{SAP}-nh_{SBP})h_{SBP} = n n h_{SAP} Rightarrow (h_{SAP}-h_{SBP})h_{SBP} = n h_{SAP}.
$$
Теперь приведем систему к квадратному уравнению относительно переменной $h_{SAP}$. Учтем, что $nneq 0$ не может и предлагается рассмотреть два случая:
1) Если $h_{SBP}=0$, то $(h_{SAP}-h_{SBP})h_{SBP} = n h_{SAP}$ соответственно преобразуется к виду $h_{SAP} cdot 0 = 0$. То есть, решение системы в этом случае не зависит от $h_{SBP}$ и может быть любое.
2) Если $h_{SBP}neq 0$. Делим уравнение на $h_{SBP}$ и переходим к системе:
$$
begin{cases}
h_{SAP}-h_{SBP} = n,\
h_{SAP}h_{SBP}- n h_{SAP}= 0.
end{cases}
$$
Второе уравнение можно переписать в виде:
$$
h_{SAP}(h_{SBP}-n) = 0.
$$
Отсюда получаем два возможных решения: $h_{SAP}=0$ или $h_{SBP}=n$.
1) Если $h_{SAP}=0$, то в силу первого уравнения получается $h_{SBP}=n$, откуда получаем $h_1=0$ и $h_2=nh_{SBP}=nn=n^2$. В таком случае точка P находится в бесконечности. Допустим, что пересечения плоскости MNK с пирамидой нет, то есть, сечение плоскостью MNK проходит строго вне пирамиды SABCD в трехмерном пространстве.
2) Если $h_{SBP}=n$, то из первого уравнения получаем $h_{SAP}=h_{SBP}=n$. В таком случае получаем $h_1=nh_{SAP}=nn=n^2$ и $h_2=nh_{SBP}=nn=n^2$. Оба значения отличны от нуля, значит, точка P лежит на отрезке AB.
Таким образом, найдены два возможных положения точки P в пространстве:
1) P находится в бесконечности.
2) P лежит на отрезке AB.
Отметим, что задача не определена однозначно, так как она предлагает рассмотреть два возможных случая. В зависимости от условий задачи, можно выбрать одно из двух решений или рассмотреть оба случая.
