Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике отношение квадрата одной стороны треугольника к сумме квадратов двух других сторон равно косинусу между этими сторонами. Применим теорему косинусов к треугольнику АТК, где стороны МА, АТ и ТК известны. Пусть угол МАТ будет α, тогда угол МАК будет 180° - α. Используем формулу с косинусами: АТ^2 = МА^2 + ТК^2 - 2 * МА * ТК * cos α. Подставим значения: АТ^2 = 5^2 + 6^2 - 2 * 5 * 6 * cos α. АТ^2 = 25 + 36 - 60 * cos α. АТ^2 = 61 - 60 * cos α. Осталось найти косинус угла α. Мы можем воспользоваться теоремой синусов для треугольника МАК. Пусть β будет углом МАК, тогда угол КАТ будет 180° - β. Используем теорему синусов: sin α / ТК = sin β / МА, ТК * sin α = МА * sin β, sin α = МА * sin β / ТК. Подставляем значения: sin α = 5 * sin β / 6. Теперь найдем sin β. Мы можем воспользоваться теоремой синусов для треугольника ТКА: sin β / МА = sin КАТ / АТ, МА * sin β = АТ * sin КАТ, sin β = АТ * sin КАТ / МА. Подставляем значения: sin β = АТ * sin(180° - α) / 5. sin β = АТ * sin α / 5. Используем эти выражения для sin α и sin β, чтобы выразить АТ^2 только через известные значения: АТ^2 = 61 - 60 * (5 * sin β / 6). АТ^2 = 61 - 50 * sin β. Осталось найти sin β. Используя теорему синусов для треугольника МАК, мы получаем: МА / sin β = АТ / sin(180° - α), МА = АТ * sin β / sin(180° - α). Подставляем значения: 5 = АТ * sin β / sin(180° - α). sin(180° - α) = sin β * 5 / АТ. sin α = sin β * 5 / АТ. Мы уже получили это выражение для sin α, поэтому можем подставить его: АТ^2 = 61 - 50 * (sin α * АТ / 5). АТ^2 = 61 - 10 * sin α * АТ. Теперь избавимся от АТ в уравнении, поделив обе части на АТ: АТ = (61 - 10 * sin α * АТ) / АТ. 1 = 61 / АТ - 10 * sin α. 10 * sin α = 61 / АТ - 1. sin α = (61 / АТ - 1) / 10. Теперь мы знаем значение sin α, которое равно: sin α = (61 / АТ - 1) / 10. Подставим это значение в уравнение для АТ^2: АТ^2 = 61 - 60 * cos α. АТ^2 = 61 - 60 * (61 / АТ - 1) / 10. АТ^2 = 61 - 3660 / АТ + 60 / АТ. Умножим обе части на АТ: АТ^3 = 61 * АТ - 3660 + 60. АТ^3 - 61 * АТ + 3600 = 0. Теперь можем решить это уравнение третьей степени для АТ при помощи численных методов, например, метода Ньютона. После вычисления АТ, мы найдем darr АТ / dt, ответ. Подводя итог, длина отрезка АТ равна положительному корню уравнения третьей степени: АТ^3 - 61 * АТ + 3600 = 0.