Пусть синяя точка - это $A$, а остальные 37 точек - это точки $B_1, B_2, ..., B_{37}$. Заметим, что любой треугольник, у которого две вершины красные и одна вершина синяя, будет прямоугольным, если и только если он является равнобедренным и основание этого треугольника вмещает дугу, состоящую из 3 равных дуг. Поскольку каждая дуга равна, то соответствующий радиус будет равен для каждой из дуг, и следовательно, все стороны равнобедренного треугольника одинаковы. Таким образом, осталось найти количество треугольников, у которых основание вмещает дугу из 3 равных дуг. Итак, пусть основание треугольника имеет точки $B_i$ и $B_j$, а синяя точка $A$ лежит на дуге, включающей точки $B_i$ и $B_j$. Тогда между $B_i$ и $B_j$ находятся $(j - i - 1)$ точек (точки $B_k$ с $i < k < j$). Находим количество треугольников для каждой пары $(i, j)$ и складываем их все: $sum limits_{i = 1}^{36} sum limits_{j = (i+4)}^{37} (j - i - 1)$. Разберем это выражение подробнее. По алгоритму решения задачи указано, что найдем сумму количества треугольников для всех возможных пар $(i, j)$. Первое слагаемое суммы $sum limits_{i = 1}^{36} sum limits_{j = (i+4)}^{37} (j - i - 1)$ говорит о том, что $i$ принимает на всех вариантах числа от 1 до 36. Здесь идет перебор значения $i$ в цикле, в котором $i$ изменяется от 1 до 36 с шагом +1. Заметим, что на каждом шаге внешнего цикла значение $i$ фиксированно, поэтому $sum limits_{j = (i+4)}^{37} (j - i - 1)$ превращается в сумму чисел от $(i+4) - i - 1 = (i+3)$ до 37. Перебирая $j$ начиная с $i+3$ и заканчивая 37, мы находим количество точек $B_k$ на дуге $B_iB_j$. Таким образом, мы складываем количество точек $B_k$ на каждой дуге $(B_iB_j)$ для каждого возможного значения $i in [1, 36]$. Для нахождения количества точек $B_k$ на каждой дуге $(B_iB_j)$ рассмотрим геометрическую интерпретацию. Имеется окружность, на которой расположены 37 точек $B_1, B_2, ..., B_{37}$, разделенные на равные дуги. Чтобы найти количество точек $B_k$ на дуге $(B_iB_j)$, нужно знать, сколько дуг находится между $B_i$ и $B_j$ (т.е. сколько точек $B_k$ находится между ними) и сколько точек находится слева от $B_i$ и справа от $B_j$. Количество точек $B_k$ на между $B_i$ и $B_j$ будет $(j - i - 1)$, а количество точек слева от $B_i$ и справа от $B_j$ будет соответственно $(i-1)$ и $(37-j)$. Таким образом, общая формула будет выглядеть как: $sum limits_{i = 1}^{36} sum limits_{j = (i+4)}^{37} (j - i - 1) = sum limits_{i = 1}^{36} sum limits_{j = (i+4)}^{37} ((j - i - 1) cdot (i - 1) cdot (37 - j))$. Применим дистрибутивное свойство для подсуммирования внутреннего цикла: $sum limits_{i = 1}^{36} left(sum limits_{j = (i+4)}^{37} ((j - i - 1) cdot (i - 1) cdot (37 - j))right) = sum limits_{i = 1}^{36} left((i - 1) cdot sum limits_{j = (i+4)}^{37} ((j - i - 1) cdot (37 - j))right)$. Теперь, зная сумму последовательности арифметической прогрессии $sum limits_{i = 1}^{n} i = frac{n cdot (n+1)}{2}$, заменим сумму внутреннего цикла: $sum limits_{j = (i+4)}^{37} ((j - i - 1) cdot (37 - j)) = frac{(37 - (i+4) + 1) cdot ((37 - (i+4) + 1) + (37 - i+4)) cdot (37 - (i+4))}{2}$ Теперь подставляем полученное значение в общую формулу: $sum limits_{i = 1}^{36} left((i - 1) cdot frac{(37 - (i+4) + 1) cdot ((37 - (i+4) + 1) + (37 - i+4)) cdot (37 - (i+4))}{2}right)$. Выполняем подсчет суммы по данной формуле и получаем ответ на вопрос задачи: количество треугольников, у которых две вершины красные и одна вершина синяя и при этом они прямоугольные.