Для решения этой задачи воспользуемся методом перебора случаев. Итак, у нас есть клетчатый лист бумаги размером 12 клеток в высоту и 10 клеток в ширину. Также, мы случайным образом закрашиваем 3 клетки на этом листе. Для того чтобы каждая закрашенная клетка имела хотя бы одну соседнюю клетку с общей стороной, существует несколько вариантов: 1) Закрашена только одна клетка и она находится в углу листа. 2) Закрашены две клетки и они находятся на одной стороне листа. 3) Закрашены три клетки и они образуют треугольник. Рассмотрим каждый вариант подробнее. 1) Закрашена только одна клетка и она находится в углу листа. В этом случае существует два варианта: закрашена верхняя левая клетка или закрашена нижняя правая клетка. 2) Закрашены две клетки и они находятся на одной стороне листа. В этом случае существует несколько вариантов: закрашены верхние клетки на одной стороне, закрашены нижние клетки на одной стороне, или закрашены клетки по бокам листа. 3) Закрашены три клетки и они образуют треугольник. Здесь существует несколько вариантов: треугольник на верхней стороне, треугольник на нижней стороне, треугольник на правой стороне, треугольник на левой стороне, или треугольник внутри листа. Теперь посчитаем вероятность для каждого варианта и сложим их. 1) Вероятность того, что закрашена верхняя левая клетка равна $frac{1}{120}$, так как на вариантов закрашивания только одной клетки всего 1, а общее число вариантов закрашивания 3 клеток из 120 возможных (120 = 12 * 10, где 12 - высота листа, 10 - ширина листа). Пример такой ситуации: X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Вероятность того, что закрашены верхние клетки на одной стороне, равна $frac{2}{120}$, так как на вариантов закрашивания двух клеток на одной стороне всего 2, а общее число вариантов закрашивания 3 клеток из 120 возможных. Пример такой ситуации: X X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Вероятность того, что закрашены нижние клетки на одной стороне, равна $frac{2}{120}$. Пример такой ситуации: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Вероятность того, что закрашены клетки по бокам листа, равна $frac{1}{120}$. Пример такой ситуации: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X . . . . . . . . . . X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) Вероятность того, что образуется треугольник на верхней стороне, равна $frac{4}{120}$. Пример такой ситуации: X . X X . . . . . . . . X X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6) Вероятность того, что образуется треугольник на нижней стороне, равна $frac{4}{120}$. Пример такой ситуации: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X . X X . . . . . . . X X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7) Вероятность того, что образуется треугольник на правой стороне, равна $frac{10}{120}$. Пример такой ситуации: . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . 8) Вероятность того, что образуется треугольник на левой стороне, равна $frac{10}{120}$. Пример такой ситуации: . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . . . . X . . . . . . 9) Вероятность того, что образуется треугольник внутри листа, равна $frac{6}{120}$. Пример такой ситуации: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X X X X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X . . X . . . . . . X X X X . . . . . . . . . . . . . . Теперь сложим все вероятности: $$frac{1}{120} + frac{2}{120} + frac{2}{120} + frac{1}{120} + frac{4}{120} + frac{4}{120} + frac{10}{120} + frac{10}{120} + frac{6}{120} = frac{40}{120} = frac{1}{3} = 0.3333.$$ Преобразуем полученную десятичную дробь в проценты, умножив на 100: $$0.3333 cdot 100 = 33.33%.$$ Ответ: вероятность того, что для каждой закрашенной клетки будет также закрашена хотя бы одна соседняя, имеющая с ней общую сторону, равна 33.33%.