Пусть наименьшее из чисел на доске равно $x$. Тогда остальные числа на доске будут равны $x+1, x+2, ldots, x+9$. Сумма всех этих чисел равна $x + (x+1) + (x+2) + ldots + (x+9)$. По условию известно, что эта сумма в 9 раз больше, чем наибольшее из выписанных чисел, то есть $(x + (x+1) + (x+2) + ldots + (x+9)) = 9(x+9)$. Разложим обе части равенства: $(x + (x+1) + (x+2) + ldots + (x+9)) = (9x + 81)$. Теперь найдем сумму чисел $x$ и $(x+1) + (x+2) + ldots + (x+9)$: $x + (x+1) + (x+2) + ldots + (x+9) = 10x + (0+1+2+ldots+9) = 10x + 45$. Подставим это в формулу и получим: $10x + 45 = 9x + 81$. Вычтем из обоих частей уравнения $9x$ и $45$ и получим: $10x - 9x = 81 - 45$. Упростим: $x = 36$. Таким образом, наименьшее число на доске равно 36.