Пусть на доске записаны $n$ различных натуральных чисел. Пусть $a_1, a_2, ldots, a_n$ - эти числа, упорядоченные по возрастанию. Тогда из условия задачи имеем следующую систему уравнений: $$a_1 cdot a_2 = 25 , , , , , , , , , , , , , , (1)$$ $$a_{n-1} cdot a_n = 783 , , , , , , , , , , , , , , (2)$$ Заметим, что два наименьших числа образуют произведение $a_1 cdot a_2$ и они должны быть равны числам 5 и 5, так как 5 - это наименьшее простое число. Аналогично два наибольших числа образуют произведение $a_{n-1} cdot a_n$ и они должны быть равны числам 17 и 46. Теперь рассмотрим возможные варианты чисел на доске. В общем случае мы имеем $n geq 4$, так как есть два наименьших числа и два наибольших числа. Также из условия задачи следует, что все $n$ чисел попарно различны. Тогда возможны следующие варианты: 1. $n = 5$. Тогда после выбора двух наименьших чисел и двух наибольших чисел остается одно число на доске. Если это число равно 5, то сумма всех чисел будет 5 + 5 + 17 + 46 + 5 = 78. Если это число равно 25, то сумма всех чисел будет 5 + 5 + 17 + 46 + 25 = 98. Итак, суммы чисел могут быть 78 и 98. 2. $n = 6$. Тогда после выбора двух наименьших чисел и двух наибольших чисел остаются еще два числа на доске. Пусть $a_3$ и $a_4$ - эти числа. Переберем все возможные пары чисел, чтобы проверить, какая из них подходит. Так как все числа попарно различны, то $a_3$ и $a_4$ не равны и не могут быть равны ни 5, ни 25 (так как числа 5 и 25 уже есть на доске). Учитывая это, переберем все возможные комбинации чисел $a_3$ и $a_4$: а) Если $a_3 cdot a_4 = 25$, то $a_3 = 5$ и $a_4 = 5$. Но такое невозможно, так как числа $a_3$ и $a_4$ должны быть различными. б) Если $a_3 cdot a_4 = 78$, то $a_3$ и $a_4$ могут быть равны различным числам, подходящим из условия задачи. Проверим, какие пары подходят: б1) $a_3 = 6, a_4 = 13$. Тогда сумма всех чисел будет $5 + 5 + 6 + 13 + 17 + 46 = 92$. б2) $a_3 = 13, a_4 = 6$. Тогда сумма всех чисел будет $5 + 5 + 13 + 6 + 17 + 46 = 92$. В итоге, сумма чисел может быть только 92. Итак, ответом на задачу являются следующие возможные суммы чисел на доске: 78, 92 и 98.