Пусть на доске записаны числа x₁, x₂, ..., xn. Задача состоит в нахождении возможных значений суммы всех чисел на доске. По условию задачи, произведение двух наименьших чисел равно 49. Воспользуемся этой информацией, чтобы выразить эти два числа через другие числа на доске. Пусть xₘᵢₙ и xₘₐₓ - эти два наименьших числа. Тогда сумма всех чисел на доске равна: S = x₁ + x₂ + ... + xn = (xₘᵢₙ + xₘₐₓ) + (xₘᵢₙ₊₁ + xₘₐₓ₋₁) + ... + (xₘₙ₋₁ + xₘₑₓ) Раскроем скобки и выразим xₘₐₓ₋₁ и xₘₑₓ через другие числа: S = xₘᵢₙ + xₘₐₓ + xₘᵢₙ₊₁ + xₘₐₓ₋₁ + ... + xₘₙ₋₁ + xₘₑₓ = (xₘₐₓ + xₘₐₓ₋₁) + (xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂) + (xₘᵢₙ₊₁ + xₘₐₓ₋₃) + ... + (xₘₙ₋₃ + xₘₐₓ₋₂) + (xₘₙ₋₂ + xₘₐₓ₋₁) + (xₘₙ₋₁ + xₘₑₓ₋₁) + xₘₑₓ = 2(xₘₐₓ + xₘₐₓ₋₁ + ... + xₘₑₓ₋₁) + xₘₐₓ + xₘₑₓ Таким образом, сумма всех чисел на доске равна двум произведениям наименьших и наибольших чисел, плюс xₘₐₓ и xₘₑₓ. По условию задачи, произведение двух самых больших чисел равно 2652. Пусть xₘₐₓ и xₘₐₓ₋₁ - эти два самых больших числа. Тогда: xₘₐₓ * xₘₐₓ₋₁ = 2652 Так как все числа различны, то xₘₐₓ₋₁ < xₘₐₓ. Разложим число 2652 на простые множители: 2652 = 2 * 2 * 3 * 13 * 17 Рассмотрим все возможные варианты распределения простых множителей по двум числам xₘₐₓ и xₘₐₓ₋₁: 1) xₘₐₓ = 17 * 13 = 221, xₘₐₓ₋₁ = 2 * 2 * 3 = 12 2) xₘₐₓ = 17 * 3 = 51, xₘₐₓ₋₁ = 2 * 2 * 13 = 52 3) xₘₐₓ = 17, xₘₐₓ₋₁ = 2 * 2 * 3 * 13 = 156 4) xₘₐₓ = 13, xₘₐₓ₋₁ = 2 * 2 * 3 * 17 = 204 Подставим найденные значения xₘₐₓ и xₘₐₓ₋₁ в уравнение для суммы всех чисел на доске: 1) S = 221 + 12 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + xₘₐₓ₋₁ 2) S = 51 + 52 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + xₘₐₓ₋₁ 3) S = 17 + 156 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + 221 4) S = 13 + 204 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + 156 Теперь посмотрим, на какие числа можно разложить числа 49 и 2652: 49 = 7 * 7 2652 = 2 * 2 * 3 * 13 * 17 Среди возможных вариантов распределения простых множителей для xₘₐₓ и xₘₐₓ₋₁, необходимо выбрать только те, которые позволяют получить произведение двух наименьших чисел равное 49: 1) xₘₐₓ = 17 * 2 = 34, xₘₐₓ₋₁ = 7 2) xₘₐₓ = 17 * 3 = 51, xₘₐₓ₋₁ = 2 * 7 * 2 = 28 3) xₘₐₓ = 1, xₘₐₓ₋₁ = 49 Теперь осталось в каждом из полученных вариантов подставить значения xₘₐₓ и xₘₐₓ₋₁ в уравнения для суммы: 1) S = 34 + 7 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + 7 2) S = 51 + 28 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + 28 3) S = 1 + 49 + xₘᵢₙ + xₘₐₓ₋₂ + ... + xₘₑₓ + 49 Таким образом, все возможные ответы на задачу составляют множество {41, 86, 52, 128, 98}.