Пусть на доске записаны следующие числа: $a, b, c$ и $d$. Так как числа попарно различны, то они все больше нуля. Рома вычислил произведение двух наименьших чисел и получил 49, значит, $ab = 49$. Рома вычислил произведение двух самых больших чисел и получил 2703, значит, $cd = 2703$. Сумма всех чисел на доске равна $a + b + c + d$. Нужно найти все возможные значения для $a + b + c + d$. Из уравнений $ab = 49$ и $cd = 2703$ можно получить следующую систему уравнений: $$ begin{cases} ab = 49 \ cd = 2703 \ end{cases} $$ Так как 49 и 2703 являются простыми числами, то возможны следующие способы раскладывать их на множители: Для числа 49 возможны следующие варианты: - $49 = 1 cdot 49$, тогда $a = 1$ и $b = 49$ - $49 = 7 cdot 7$, тогда $a = 7$ и $b = 7$ Для числа 2703 возможны следующие варианты: - $2703 = 1 cdot 2703$, тогда $c = 1$ и $d = 2703$ - $2703 = 3 cdot 901$, тогда $c = 3$ и $d = 901$ - $2703 = 37 cdot 73$, тогда $c = 37$ и $d = 73$ Таким образом, мы получили три варианта для суммы всех чисел на доске: - $a + b + c + d = 1 + 49 + 1 + 2703 = 2754$ - $a + b + c + d = 7 + 7 + 1 + 2703 = 2718$ - $a + b + c + d = 7 + 7 + 37 + 73 = 124$ Ответ: сумма всех чисел на доске может быть равна 2754, 2718 или 124.