Пусть наименьшее значение самого большого из 89 чисел равно N. Тогда по условию задачи: 1) Ровно 77 из этих 89 чисел делятся на 9. Это означает, что в промежутке от N до N+9 должно быть 77 чисел, делящихся на 9. То есть, в этом промежутке должно быть не менее 77 чисел, кратных 9. 2) Ровно 54 из этих 89 чисел делятся на 21. Аналогично, в промежутке от N до N+21 должно быть 54 числа, делящихся на 21. То есть, в этом промежутке должно быть не менее 54 чисел, кратных 21. При этом, чтобы наименьшее значение самого большого числа было найдено, необходимо выбрать минимальное значение N так, чтобы выполнялись оба условия. Очевидно, что для того, чтобы в промежутке от N до N+9 было 77 чисел, кратных 9, самое маленькое значение N должно быть кратно 9. Аналогично, для того, чтобы в промежутке от N до N+21 было 54 числа, кратных 21, самое маленькое значение N должно быть кратно 21. Таким образом, нужно найти наименьшее натуральное число k такое, что оно кратно и 9, и 21. Наименьшее такое число будет наименьшим общим кратным (НОК) чисел 9 и 21. НОК(9, 21) = (9 * 21) / НОД(9, 21), где НОД(9, 21) - наибольший общий делитель чисел 9 и 21. Находим НОД(9, 21): 21 = 2 * 9 + 3. 9 = 3 * 3 + 0. Таким образом, НОД(9, 21) = 3. Подставляем в формулу для НОК: НОК(9, 21) = (9 * 21) / НОД(9, 21) = (9 * 21) / 3 = 63. Таким образом, наименьшее значение N будет равно 63. Ответ: наименьшее значение самого большого из 89 чисел равно 63.