Пусть `a`, `b`, `c`, `d`, `e`, `f` - красные числа, а `a'`, `b'`, `c'`, `d'`, `e'`, `f'` - синие числа соответственно.
Так как среднее арифметическое равно 18, то сумма красных чисел равна `6 * 18 = 108`. На каждую позицию можно записать число отличное от красного на 3 в двух направлениях: увеличить на 3 или уменьшить на 3.
Увеличивая каждое из чисел на 3, получим сумму: `(a + 3) + (b + 3) + (c + 3) + (d + 3) + (e + 3) + (f + 3) = a + b + c + d + e + f + 18`. По условию задачи сумма синих чисел также должна равняться 108, то есть `a + b + c + d + e + f + 18 = 108`. Вычитая 18 из обеих частей уравнения, получим `a + b + c + d + e + f = 90`.
Уменьшая каждое из чисел на 3, получим сумму: `(a - 3) + (b - 3) + (c - 3) + (d - 3) + (e - 3) + (f - 3) = a + b + c + d + e + f - 18`. По условию задачи сумма синих чисел также должна равняться 108, то есть `a + b + c + d + e + f - 18 = 108`. Прибавляя 18 к обеим частям уравнения, получим `a + b + c + d + e + f = 126`.
Зафиксируем одну из сумм, например, 90. Пусть `s` - количество вариантов расстановки чисел, чтобы их сумма была равна `s`. Тогда количество вариантов расстановки чисел, чтобы их сумма была равна 126, будет равно `s2 = s + k`, где `k` - количество вариантов изменения каждого из чисел на 3, чтобы сумма увеличилась на 36 (126 - 90).
Таким образом, итоговое количество вариантов будет равно `s + s2 = s + (s + k) = 2s + k`.
Однако, некоторые варианты будут повторяться, так как можно поменять местами два числа и получить ту же самую сумму. Например, для чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма равна 21, и получить такую сумму можно несколькими способами: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 или 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Количество таких вариантов равно факториалу количества чисел. В данной задаче факториал равен 6! = 720.
Таким образом, количество различных значений среднего арифметического шести синих чисел можно найти как `(2s + k) / 720`, где `s` - количество вариантов расстановки чисел, чтобы их сумма была равна `90`, а `k` - количество вариантов изменения каждого из чисел на 3, чтобы сумма увеличилась на 36 (126 - 90).
Для нахождения `s` и `k` можно воспользоваться комбинаторными методами, например, методом перебора или методом динамического программирования. В данной задаче рассмотрим метод перебора.
Пусть `count` - переменная, в которую будем суммировать количество вариантов в `s`. Начнем перебирать все возможные комбинации чисел в заданных границах и на каждом шаге сравнивать их сумму с заданным значением. Если сумма равна заданному значению, увеличиваем `count` на 1, если сумма больше, пропускаем текущую комбинацию, если сумма меньше, продолжаем перебирать возможные комбинации.
python
count = 0
# Перебор всех возможных комбинаций
for a in range(18-3, 18+4):
for b in range(18-3, 18+4):
for c in range(18-3, 18+4):
for d in range(18-3, 18+4):
for e in range(18-3, 18+4):
for f in range(18-3, 18+4):
# Проверка условия суммы
if a + b + c + d + e + f == 90:
# Увеличение count на 1
count += 1
Теперь найдем `k`, количество вариантов изменения каждого из чисел на 3, чтобы сумма увеличилась на 36 (126 - 90). Каждому из чисел `a`, `b`, `c`, `d`, `e`, `f` можно добавить `3 - 3` различных значений, так как `3` и `-3` уже рассмотрены в предыдущем цикле.
python
# Нахождение k
k = (3 - (-3)) ** 6
Теперь можем найти искомое количество различных значений среднего арифметического шести синих чисел:
python
# Количество различных значений среднего арифметического
result = (2 * count + k) / 720
Ответ: `result`.
