Пусть число N имеет вид N = p^m*q^n, где p и q — различные простые числа, m и n — натуральные числа. Число делителей натурального числа N равно (m+1)(n+1), поэтому мы можем составить систему уравнений: (m+1)(n+1) = 6, (1) (a+1)(b+2) = N. (2) Обратим внимание, что в уравнении (1) у нас есть только два возможных набора значений для m и n: (m, n) = (5, 0) и (m, n) = (0, 5). Это так, потому что в противном случае произведение (m+1)(n+1) будет больше 6, что противоречит условию. Рассмотрим первый набор значений (m, n) = (5, 0). Тогда выражение N = p^5 состоит из p в пятой степени. Используя уравнение (2), получим: (a+1)(b+2) = p^5. (3) Так как p — простое число и p^5 имеет ровно шесть делителей, то простые числа, на которые может быть разложено число p^5 в уравнении (3), должны быть меньше p. Это означает, что а и b могут быть выбраны из следующих значений: a = 1, b = 2; a = 1, b = 3; a = 2, b = 3. Если подставить различные значения a и b в уравнение (3), то можно получить различные значения p: (1+1)(2+2) = 4 = 2^2, p = 2. (1+1)(3+2) = 10 = 2*5, p = 2. (2+1)(3+2) = 15 = 3*5, p = 3. Таким образом, мы получаем два возможных значения для N: N_1 = 2^5 = 32 и N_2 = 3^5 = 243. Рассмотрим теперь второй набор значений (m, n) = (0, 5). Тогда выражение N = q^5 состоит из q в пятой степени. Аналогично, используя уравнение (2), получим: (a+1)(b+2) = q^5. (4) Аналогично предыдущему случаю, числа, на которые может быть разложено q^5 в уравнении (4), должны быть меньше q. Это означает, что а и b могут быть выбраны из следующих значений: a = 1, b = 2; a = 1, b = 3; a = 2, b = 3. Подставляя различные значения a и b в уравнение (4), мы получаем следующие возможные значения для q: (1+1)(2+2) = 4 = 2^2, q = 2. (1+1)(3+2) = 10 = 2*5, q = 2. (2+1)(3+2) = 15 = 3*5, q = 3. Таким образом, мы получаем два дополнительных значения для N: N_3 = 2^5 = 32 и N_4 = 3^5 = 243. Общий ответ: N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 32 + 243 + 32 + 243 = 550. Итак, сумма всех возможных значений N равна 550.