Доказательство данного утверждения можно провести с использованием арифметической операции - сложения и модульной арифметики.
Дано: натуральное число а таково, что 7а + 11 делится на 5.
Чтобы доказать, что 9а + 22 также делится на 5, следует предположить, что 9а + 22 не делится на 5 и прийти к противоречию.
Допустим, 9а + 22 не делится на 5. Это означает, что остаток от деления 9а + 22 на 5 не равен нулю. Обозначим остаток как r₁.
Тогда можно записать:
9а + 22 = 5q₁ + r₁,
где а - натуральное число, q₁ - некоторое целое число, r₁ - остаток от деления 9а + 22 на 5.
Так как 7а + 11 делится на 5, то остаток от деления 7а + 11 на 5 равен нулю. Обозначим его как r₀.
Можно записать:
7а + 11 = 5q₀ + r₀,
где q₀ - некоторое целое число, r₀ - остаток от деления 7а + 11 на 5.
Теперь перейдем к вычислению выражения 9а + 22 - 7а - 11, чтобы получить выражение вида (9а - 7а) + (22 - 11):
9а + 22 - 7а - 11 = 2а + 11.
Мы знаем, что оба выражения 9а + 22 и 7а + 11 делятся на 5, а значит, их разность тоже должна делиться на 5. То есть, остаток от деления (9а + 22) - (7а + 11) на 5 равен нулю. Обозначим его как r.
(9а + 22) - (7а + 11) = 2а + 11 = 5q + r,
где q - некоторое целое число, r - остаток от деления 2а + 11 на 5.
Так как остатки от деления суммы и разности чисел на одно и то же число равны, то r = r₀ = r₁.
Теперь, используя равенство остатков, можно записать:
5q₁ + r₁ = 5q₀ + r₀ = 5q + r.
Очевидно, что остатки r₀ и r₁ не равны нулю (иначе числа 7а + 11 и 9а + 22 делились бы на 5), и они однозначно определены в интервале от 1 до 4 включительно.
Так как сумма и разность остатков равны, то 5q₁ + r₁ = 5q₀ + r₀ = 5q + r, и получается, что остатки r₁ и r равны.
Таким образом, 2а + 11 делится на 5, так как его остаток r равен остатку от деления 7а + 11 на 5. Однако, это противоречит изначальному предположению, что остаток от деления 9а + 22 на 5 не равен нулю.
Из этого противоречия можно сделать вывод, что предположение неверно, и 9а + 22 также делится на 5.
Таким образом, мы доказали, что если 7а + 11 делится на 5, то 9а + 22 также делится на 5.
