Графы являются одной из основных структур данных в информатике и математике. Они используются для моделирования отношений между объектами или элементами. В графах элементы представляются вершинами, а отношения между ними - ребрами. Есть разные виды графов, в том числе и плоские графы.
Плоский граф - это граф, который может быть изображен на плоскости таким образом, что его ребра не пересекаются. Другими словами, плоский граф может быть нарисован на плоскости без перекрывающихся ребер. Все ребра в плоском графе лежат в одной плоскости, и ни одно ребро не пересекает другое.
Понятие плоского графа важно в различных областях, таких как теория графов, компьютерная графика, алгоритмы и другие. Важное свойство плоского графа, которое надо отметить, это то, что пересечение ребер может быть важным фактором, который влияет на его структуру и выполняемые с ним операции.
Плоские графы имеют много интересных свойств и приложений. Например, они используются в картографии для представления дорожных сетей и населенных пунктов. Плоские графы также находят применение в теории игр, оптимизации и дизайне схем.
Одним из основных вопросов, связанных с плоскими графами, является вопрос о планарности. Граф называется планарным, если его можно изобразить на плоскости без пересечения ребер. Вообще говоря, определение планарности не тривиально и сформулировано в виде теоремы, называемой теоремой Куратовского. Теорема Куратовского говорит, что граф планарен, если и только если в нем нет подграфа, изоморфного графу $K_5$ (граф, состоящий из пяти вершин, таких что каждая вершина соединена с каждой другой вершиной) или графу $K_{3,3}$ (граф, состоящий из шести вершин, разделенных на две группы по три, в каждой группе каждая вершина связана с каждой вершиной другой группы).
Важно заметить, что плоскость не является единственным пространством, на котором можно изображать графы. Более общим понятием является понятие "поверхность". Поверхность - это пространство с определенной топологией. Например, плоскость является двумерной поверхностью, а сфера - трехмерной поверхностью. Плоские графы - это графы, которые можно изобразить на двумерной поверхности.
Оказывается, что пересечение ребер может происходить только в некоторых точках поверхности, где ребра пересекаются. Чтобы изобразить граф на поверхности, она должна быть "раскрашена" в так называемый плоскостной рисунок или планарную прямоугольную сетку. Затем вершины графа размещаются на точках этой сетки, а ребра проводятся между вершинами, не пересекая другие ребра. Как правило, сетка используется для облегчения рисования графа на поверхности и его визуализации.
Одной из самых известных задач, связанных с плоскими графами, является задача о раскраске графа. Раскрашивая вершины графа разными цветами таким образом, чтобы соседние вершины имели разные цвета, мы можем найти специальные важные классы плоских графов. Например, графы смежности графа $K_4$ - это графы без троек параллельных ребер, графы смежности графа $K_5$ - это графы без троек параллельных или пересекающихся ребер.
Другой известной задачей, связанной с плоскими графами, является задача о нахождении пути. На плоском графе мы можем задать вопросы о существовании пути между двумя вершинами, о нахождении кратчайшего пути, или о поиске всех возможных путей между двумя вершинами. Особенность плоского графа состоит в том, что при нахождении пути мы можем использовать информацию о его структуре и о наличии ребер, не пересекающихся с исследуемым путем.
Одной из техник, которые используются при работе с плоскими графами, является преобразование графа. Преобразование графа - это изменение его структуры или ориентации в целях упрощения анализа. Например, преобразование графа может представлять собой удаление вершин и ребер, добавление новых вершин и ребер, или инвертирование ориентации ребер. Преобразование графа может помочь в поиске определенных свойств или структур в графе, а также в решении задач, связанных с его плоскостью.
В заключение, плоские графы являются важным и интересным объектом изучения в различных областях, включая теорию графов, компьютерную графику, алгоритмы и другие. Они предоставляют мощные инструменты для моделирования, анализа и решения задач, связанных с отношениями и структурами. Знание о плоских графах позволяет понять и использовать различные свойства и операции над графами, а также применять их в практических ситуациях, где важно рассмотреть взаимосвязи и варианты.
