Верхние и нижние суммы Дарбу — это разбиения отрезка интегрирования на подотрезки, которые определяются как макимальные и минимальные значения интеграла на каждом подотрезке соответственно. Этот интеграл называется интегралом Дарбу. Верхние и нижние суммы Дарбу играют важную роль в теории интегрирования и имеют несколько свойств, которые помогают нам понять их смысл и значимость. Первое свойство верхних и нижних сумм Дарбу — это то, что они являются оценками верхнего и нижнего пределов интеграла. Другими словами, верхняя сумма Дарбу представляет верхнюю границу значений интеграла на отрезке, а нижняя сумма Дарбу представляет нижнюю границу значений. Таким образом, мы можем использовать верхние и нижние суммы Дарбу для приближенного вычисления значений интеграла. Второе свойство верхних и нижних сумм Дарбу заключается в том, что они сходятся к одному и тому же значению, если разбиение отрезка интегрирования становится все более мелким. Другими словами, если количество подотрезков разбиения увеличивается, то верхние и нижние суммы Дарбу приближаются к значению интеграла в пределе. Это свойство позволяет нам использовать верхние и нижние суммы Дарбу для определения значений интеграла с заданной точностью. Третье свойство верхних и нижних сумм Дарбу состоит в том, что они удовлетворяют следующим неравенствам: верхняя сумма Дарбу меньше или равна фактическому значению интеграла, которое равно верхнему пределу интеграла, а нижняя сумма Дарбу больше или равна фактическому значению интеграла, которое равно нижнему пределу интеграла. Эти неравенства позволяют нам использовать верхние и нижние суммы Дарбу для приближенного оценивания значений интеграла. Четвертое свойство верхних и нижних сумм Дарбу заключается в том, что они монотонно убывают с увеличением количества подотрезков разбиения. То есть, если мы увеличиваем количество подотрезков разбиения, то верхняя сумма Дарбу уменьшается, а нижняя сумма Дарбу увеличивается. Это свойство позволяет нам оценить точность приближенного вычисления значения интеграла с помощью верхних и нижних сумм Дарбу. Пятая и последняя свойство верхних и нижних сумм Дарбу заключается в том, что они удовлетворяют условию Вейерштрасса-Коши. Это условие гарантирует, что существует такое значение интеграла, что верхние и нижние суммы Дарбу стремятся к нему при уменьшении диаметра разбиения. То есть, если мы уменьшаем размер подотрезков разбиения, то верхние и нижние суммы Дарбу становятся все ближе к фактическому значению интеграла. Таким образом, верхние и нижние суммы Дарбу являются важными инструментами в теории интегрирования. Они позволяют нам приближенно вычислять значения интеграла, а также оценивать и контролировать точность приближенных вычислений. Кроме того, верхние и нижние суммы Дарбу обладают рядом важных свойств, которые помогают нам понять интеграл и изучать его свойства.