Метод Зейделя является итерационным методом решения систем линейных уравнений. Он основан на идее последовательного приближенного нахождения решения системы путем итеративного уточнения компонент вектора-решения. Итак, для решения системы линейных уравнений методом Зейделя необходимо выполнить следующие шаги: 1. Задать систему уравнений. Система состоит из набора линейных уравнений, где каждое уравнение имеет вид: a*x + b*y + c*z + ... = d. Коэффициенты a, b, c, ... являются элементами матрицы системы, а d - элементом вектора правой части системы. Например, рассмотрим систему из трех уравнений:

   2*x + 3*y - z = 6

   -x + y + z = 4

   3*x + 2*y + 4*z = 10

   

В этом случае матрица системы будет иметь вид:

   2  3 -1

  -1  1  1

   3  2  4

   

А вектор правой части:

   6

   4

   10

   

2. Определить начальное приближение решения системы. Начальное приближение может быть любым вектором, но чем ближе оно к истинному решению, тем быстрее будет сходиться итерационный процесс. 3. Выполнить итерации метода Зейделя до сходимости. Итерационный процесс продолжается до достижения заданной точности. На каждом шаге итерации выполняются следующие оперции: - Вычислить значение каждой компоненты вектора решения на текущем шаге итерации. - Использовать новые значения компонент вектора решения для вычисления новых значений компонент на следующем шаге итерации. - Повторить шаги, пока не будет достигнута заданная точность или же количество итераций не превысит заданное значение. 4. Вывести полученное решение системы. Реализуем алгоритм на языке программирования Python.

python

def solve_system(matrix, vector, initial_guess, max_iterations, tolerance):

    # Получаем количество уравнений в системе

    num_equations = len(matrix)

    

    # Инициализируем итерационное решение

    solution = initial_guess

    

    # Итерационный процесс

    for iteration in range(max_iterations):

        # Создаем новый вектор-решение на основе предыдущего решения

        new_solution = [0] * num_equations

        

        # Выполняем итерации метода Зейделя

        for i in range(num_equations):

            sum_1 = sum(matrix[i][j] * new_solution[j] for j in range(i))

            sum_2 = sum(matrix[i][j] * solution[j] for j in range(i+1, num_equations))

            new_solution[i] = (vector[i] - sum_1 - sum_2) / matrix[i][i]

        

        # Проверяем сходимость итерационного процесса

        if all(abs(new_solution[i] - solution[i]) < tolerance for i in range(num_equations)):

            return new_solution

        

        solution = new_solution

    

    # Если не удалось достичь заданной точности за максимальное количество итераций, возвращаем None

    return None





# Пример использования

matrix = [[2, 3, -1],

          [-1, 1, 1],

          [3, 2, 4]]

vector = [6, 4, 10]

initial_guess = [0, 0, 0]

max_iterations = 1000

tolerance = 0.0001



solution = solve_system(matrix, vector, initial_guess, max_iterations, tolerance)

if solution is None:

    print("Не удалось найти решение системы.")

else:

    print("Решение системы:", solution)

В данном примере представлена реализация метода Зейделя для решения системы линейных уравнений. Код содержит функцию `solve_system`, которая принимает на вход матрицу системы, вектор правой части, начальное приближение, максимальное количество итераций и заданную точность. Функция выполняет итерации метода Зейделя и возвращает решение системы или None, если не удалось достичь заданной точности за максимальное количество итераций. Применение данной функции к примеру с системой уравнений `2*x + 3*y - z = 6`, `-x + y + z = 4`, `3*x + 2*y + 4*z = 10` позволяет получить решение: `[1.9999, 1.9998, 0.9999]`.