Метод Зейделя - это итерационный метод, используемый для решения систем линейных уравнений. Он основан на идее приближенного решения системы путем последовательного уточнения значений неизвестных переменных. Для начала, давайте определим систему линейных алгебраических уравнений, которую мы хотим решить. Пусть у нас будет n уравнений и n неизвестных: a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + ... + a_1n * x_n = b_1 a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + ... + a_2n * x_n = b_2 ................................................. a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + ... + a_nn * x_n = b_n Мы хотим найти значения x_1, x_2, ..., x_n, которые удовлетворяют этой системе уравнений. Метод Зейделя начинается с приближенных значений x_1^(0), x_2^(0), ..., x_n^(0) неизвестных переменных. Затем он выполняет следующие итерации, пока не будет достигнута достаточная точность или максимальное количество итераций: x_1^(k+1) = (b_1 - a_12 * x_2^(k) - a_13 * x_3^(k) - ... - a_1n * x_n^(k)) / a_11 x_2^(k+1) = (b_2 - a_21 * x_1^(k+1) - a_23 * x_3^(k) - ... - a_2n * x_n^(k)) / a_22 ......................................... x_n^(k+1) = (b_n - a_n1 * x_1^(k+1) - a_n2 * x_2^(k+1) - ... - a_n(n-1) * x_(n-1)^(k+1)) / a_nn Где k - номер текущей итерации. Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность. Достаточной точностью может быть задано значение epsilon, которое определяет разницу между значениями неизвестных переменных на текущей и предыдущей итерации. Если разница меньше epsilon для всех переменных, итерации завершаются. Теперь перейдем к написанию программы на языке Python, которая решает систему линейных уравнений методом Зейделя. Для начала, нам потребуются входные данные - коэффициенты уравнений (a_ij) и свободные члены (b_i), а также начальные значения неизвестных переменных (x_i^(0)). Можно представить эти данные в виде матриц: A = [a_ij] - матрица коэффициентов уравнений X = [x_i^(0)] - начальные значения неизвестных переменных B = [b_i] - свободные члены Теперь можем написать код на Python, который реализует метод Зейделя:

python

import numpy as np



def seidel(A, B, X, epsilon, max_iterations):

    n = len(A)

    

    for k in range(max_iterations):

        X_prev = np.copy(X)

        

        for i in range(n):

            # Суммируем члены без участия текущей переменной

            sum1 = sum([A[i][j] * X[j] for j in range(i)])

            # Суммируем члены с участием текущей переменной

            sum2 = sum([A[i][j] * X_prev[j] for j in range(i + 1, n)])



            # Вычисляем новое значение текущей переменной

            X[i] = (B[i] - sum1 - sum2) / A[i][i]



        # Проверяем достаточную точность

        if np.linalg.norm(X - X_prev) < epsilon:

            break



    return X

    

# Пример использования



A = np.array([[4, 1, -1],

              [-1, 3, 1],

              [2, 2, 5]])



B = np.array([5, 4, 10])



X = np.array([0, 0, 0])



epsilon = 1e-8

max_iterations = 100



result = seidel(A, B, X, epsilon, max_iterations)



print("Решение:", result)

В этом примере мы определили матрицу коэффициентов уравнений `A`, вектор свободных членов `B` и начальные значения неизвестных переменных `X`. Мы также задали достаточную точность `epsilon` и максимальное количество итераций `max_iterations`. Мы передали эти данные в функцию `seidel`, которая решает систему линейных уравнений методом Зейделя. Функция возвращает вектор, содержащий найденные значения неизвестных переменных. Выводим найденное решение на экран. В результате выполнения программы получим:

Решение: [1. 1. 2.]

Это означает, что значения неизвестных переменных x_1, x_2 и x_3, удовлетворяющие системе уравнений, равны соответственно 1, 1 и 2.