Метод Зейделя является одним из численных методов решения систем линейных уравнений. Он относится к итерационным методам и заключается в последовательном приближении к решению путем преобразования каждого уравнения системы. Для начала, необходимо ввести систему линейных уравнений и выбрать начальное приближение для решения. Для простоты рассмотрим систему с трех уравнений: a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3 = b1, a21 * x1 + a22 * x2 + a23 * x3 = b2, a31 * x1 + a32 * x2 + a33 * x3 = b3. Теперь решим эту систему методом Зейделя. Шаг 1: Задаем начальное приближение для решения системы уравнений. Мы можем задать начальное приближение, например, как нулевые значения для x1, x2 и x3. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0. Шаг 2: Вычисляем значения x1, x2 и x3. Для вычисления x1 заменим в первом уравнении значение x2 и x3 на начальные значения и решим уравнение относительно x1. x1 = (b1 - a12 * x2 - a13 * x3) / a11. Аналогично, для вычисления x2 и x3 заменим второе и третье уравнение значения x1, x2 и x3 на новые значения и решим эти уравнения относительно x2 и x3. x2 = (b2 - a21 * x1 - a23 * x3) / a22, x3 = (b3 - a31 * x1 - a32 * x2) / a33. Шаг 3: Повторяем шаг 2 до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или количество итераций не превысит заданное значение. Для каждой итерации обновляем значения x1, x2 и x3 в соответствии с формулами из шага 2. Очевидно, что метод Зейделя требует большего количества итераций для сходимости, поэтому мы должны установить предельное значение для количества итераций или точность, при которой мы считаем, что решение достаточно точное. Например, мы можем установить максимальное количество итераций равным 100 и точность равной 0.0001. Шаг 4: Проверяем, достигнута ли заданная точность или не превышено ли максимальное количество итераций. Если нет, переходим к шагу 2. Если да, решение системы линейных уравнений найдено и приводим значения x1, x2 и x3 как решение исходной системы. Теперь, когда мы разобрали все этапы алгоритма метода Зейделя, давайте реализуем его в программе на Python:

python

def solve_equations(a, b, initial_guess, max_iterations, tolerance):

    n = len(a)

    x = initial_guess.copy()

    for k in range(max_iterations):

        x_prev = x.copy()

        for i in range(n):

            sigma = 0

            for j in range(n):

                if j != i:

                    sigma += a[i][j] * x[j]

            x[i] = (b[i] - sigma) / a[i][i]

        if all(abs(x[i] - x_prev[i]) < tolerance for i in range(n)):

            return x

    return None



# Пример использования

a = [[4, -1, 2], [3, 6, -1], [2, 1, 5]]

b = [1, 5, -2]

initial_guess = [0, 0, 0]

max_iterations = 100

tolerance = 0.0001



solution = solve_equations(a, b, initial_guess, max_iterations, tolerance)



if solution is not None:

    print("Решение системы уравнений:")

    for i, x in enumerate(solution):

        print(f"x{i+1} = {x}")

else:

    print("Решение не найдено. Увеличьте максимальное количество итераций или уменьшите точность.")

В этом примере решается система уравнений: 4x1 - 1x2 + 2x3 = 1, 3x1 + 6x2 - 1x3 = 5, 2x1 + 1x2 + 5x3 = -2. Начальное приближение задается нулевыми значениями для x1, x2 и x3. Максимальное количество итераций установлено равным 100, а точность - 0.0001. Код функции `solve_equations` принимает матрицу коэффициентов `a`, вектор значений `b`, начальное приближение `initial_guess`, максимальное количество итераций `max_iterations` и точность `tolerance`. Алгоритм решения системы уравнений методом Зейделя реализован внутри этой функции. Функция возвращает решение системы уравнений или `None`, если решение не найдено. Наконец, решение системы выводится на экран или сообщение о том, что решение не найдено.