Метод Гаусса – это алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) путем приведения её к треугольной форме и последующему обратному ходу. В этом методе происходит исключение переменных путем приведения матрицы коэффициентов системы к верхней треугольной форме. Напишем программу на языке Python, которая решает систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 1. Создадим функцию gauss(A, b), которая будет принимать на вход матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов b системы линейных уравнений. Внутри этой функции будем выполнять основной алгоритм метода Гаусса. На выходе функция должна возвращать вектор решений x. 2. Приведем матрицу коэффициентов к треугольному виду (представим систему уравнений в виде расширенной матрицы [A|b]). 3. Переберем все строки матрицы начиная с первой и для каждой строки выполним следующие действия: a. Если текущий элемент a[i][i] равен нулю, то найдем такую строку j (i < j < n), что a[j][i] не равен нулю. Поменяем местами текущую строку i и строку j. b. Разделим текущую строку i на a[i][i], чтобы получить единицу на диагонали. c. Вычитаем из всех строк, начиная со следующей строки i+1, текущую строку, умноженную на такой множитель, чтобы занулить все элементы под диагональю. 4. После приведения матрицы к треугольному виду, начинается обратный ход. Начиная с последней строки, идем вверх и заменяем переменные на их значения. 5. Возвращаем вектор решений x. Реализация:

python

import numpy as np



def gauss(A, b):

    n = len(A)

    # Приведение матрицы A к треугольному виду

    for i in range(n):

        # Поиск строки с максимальным элементом в текущем столбце

        max_row = i

        for j in range(i + 1, n):

            if abs(A[j][i]) > abs(A[max_row][i]):

                max_row = j

        # Перестановка строк

        A[[i, max_row]] = A[[max_row, i]]

        b[[i, max_row]] = b[[max_row, i]]

        # Приведение строки i к треугольному виду

        for j in range(i + 1, n):

            c = -A[j][i] / A[i][i]

            A[j] += c * A[i]

            b[j] += c * b[i]



    # Обратный ход

    x = np.zeros(n)

    for i in range(n - 1, -1, -1):

        x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i][i]

    return x

Пример вызова функции:

python

A = np.array([[2, 1, -1],

              [-3, -1, 2],

              [-2,  1,  2]])



b = np.array([8, -11, -3])



x = gauss(A, b)

print(x)

В данном примере решается следующая система линейных уравнений: 2x + y - z = 8 -3x - y +2z = -11 -2x + y + 2z = -3 Результатом работы программы будет вектор x, содержащий значения переменных: x = 2.0 y = 3.0 z = -1.0