Метод Гаусса - это алгоритм для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), который основан на элементарных преобразованиях над расширенной матрицей системы. СЛАУ можно представить в виде: A * x = b где A - матрица коэффициентов, x - вектор неизвестных переменных, b - вектор правой части системы. Метод Гаусса состоит из нескольких шагов: 1. Прямой ход: приведение расширенной матрицы системы к треугольному виду. Суть этого шага заключается в том, чтобы получить в нижней части расширенной матрицы нулевые значения под главной диагональю. Для этого выполняются следующие действия: - Если A[0][0] равно нулю, меняем строки местами так, чтобы A[0][0] было ненулевым элементом. - Делим первую строку на A[0][0], чтобы получить единицу на главной диагонали. - Вычитаем из каждой следующей строки первую строку, умноженную на элемент A[i][0] / A[0][0], чтобы получить нули под A[0][0]. - Повторяем эти действия во всех оставшихся столбцах, пока не получится треугольная матрица. 2. Обратный ход: обратное движение от последней строки к первой, чтобы получить значения неизвестных переменных. Суть этого шага заключается в том, чтобы получить 1 на главной диагонали и выразить остальные переменные через неё. Для этого выполняются следующие действия: - Делим последнюю строку на A[n-1][n-1], чтобы получить единицу на главной диагонали. - Вычитаем из каждой предыдущей строки последнюю строку, умноженную на элемент A[i][n-1], чтобы получить нули под A[n-1][n-1]. - Повторяем эти действия во всех оставшихся столбцах, пока не получим диагональную матрицу. 3. Получение решения: получение значений неизвестных переменных. Решение будет представлять собой последний столбец расширенной матрицы. Теперь рассмотрим конкретный пример решения СЛАУ методом Гаусса на языке Python.

python

import numpy as np



def gauss_elimination(A, b):

    n = len(A)

    

    # Прямой ход

    for i in range(n):

        # Проверяем A[i][i] на ноль

        if A[i][i] == 0:

            for j in range(i+1, n):

                # Если ненулевой элемент найден, меняем строки местами

                if A[j][i] != 0:

                    A[[i, j]] = A[[j, i]]

                    b[[i, j]] = b[[j, i]]

                    break

            else:

                raise ValueError("Система уравнений не имеет решений")

        

        # Делим текущую строку на A[i][i], чтобы получить 1 на главной диагонали

        A[i] /= A[i][i]

        b[i] /= A[i][i]

        

        # Вычитаем текущую строку из всех следующих строк, чтобы получить нули под главной диагональю

        for j in range(i+1, n):

            factor = A[j][i] / A[i][i]

            A[j] -= factor * A[i]

            b[j] -= factor * b[i]

    

    # Обратный ход

    x = np.zeros(n)

    x[n-1] = b[n-1]

    for i in range(n-2, -1, -1):

        x[i] = b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])

    

    return x



# Пример использования

A = np.array([[2, 3, -2], [4, 5, -4], [2, -1, 1]], dtype=float)

b = np.array([-1, 2, 1], dtype=float)



x = gauss_elimination(A, b)

print(x)

В данном примере используется библиотека NumPy для работы с матрицами. Функция gauss_elimination выполняет прямой и обратный ход метода Гаусса над переданными матрицей коэффициентов A и вектором правой части b. Результатом работы функции является вектор x с значениями неизвестных переменных. В данном случае ответом будет x = [1. -1. -2.].