Для нахождения симметричной точки Q относительно прямой L, нам необходимо провести перпендикуляр от точки P до прямой L и найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой L. Эта точка будет являться симметричной точкой Q относительно прямой L.
Сначала найдем уравнение прямой L. Для этого выберем две точки, лежащие на этой прямой, и построим вектор, направление которого будет параллельно прямой L.
Выберем точками A(0, 7, 0) и B(-4, 5, 9), так как они удобно лежат на прямой L. Найдем вектор AB:
Вектор AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-4 - 0, 5 - 7, 9 - 0) = (-4, -2, 9).
Теперь найдем уравнение прямой L. Уравнение проходящей через точку P(7, -2, 3) и параллельной вектору AB = (-4, -2, 9) прямой можно записать в параметрической форме:
x = 7 - 4t,
y = -2 - 2t,
z = 3 + 9t.
Теперь найдем перпендикуляр от точки P до прямой L. Перпендикуляр будет иметь направляющий вектор, который будет перпендикулярен вектору AB. По свойству скалярного произведения, уравнение перпендикуляра можно записать в виде:
(-4, -2, 9) • (x - 7, y + 2, z - 3) = 0.
(-4)(x - 7) + (-2)(y + 2) + (9)(z - 3) = 0.
-4x + 28 - 2y - 4 + 9z - 27 = 0.
-4x - 2y + 9z - 3 = 0.
Теперь решим систему уравнений прямой L и перпендикуляра:
{ x = 7 - 4t,
y = -2 - 2t,
z = 3 + 9t,
-4x - 2y + 9z - 3 = 0 }.
Подставим значения x и y из первых трех уравнений в четвертое:
-4(7 - 4t) - 2(-2 - 2t) + 9(3 + 9t) - 3 = 0.
-28 + 16t + 4 + 4t + 27 + 81t - 3 = 0.
21t = 0.
t = 0.
Подставим t = 0 в первые три уравнения, чтобы найти координаты точки Q:
x = 7 - 4(0) = 7,
y = -2 - 2(0) = -2,
z = 3 + 9(0) = 3.
То есть, точка Q(7, -2, 3) является симметричной точкой относительно прямой L относительно исходной точки P(7, -2, 3).
