Для нахождения общего решения заданного уравнения, сначала приведем его к каноническому виду. Для этого воспользуемся заменой переменных. Пусть U = U(x, y) и введем новые переменные ξ и η следующим образом: ξ = x + y, η = x - y. Тогда производные по x и y можно выразить через производные по ξ и η следующим образом: Ux = Uξ + Uη, Uy = -Uξ + Uη. Применим эти замены в исходном уравнении: Uxx + yUx + xUy + xyU = 0. Заменим производные по x и y через производные по ξ и η: (Uξ + Uη)ξ + y(Uξ + Uη) + x(-Uξ + Uη) + xyU = 0. Упростим выражение: Uξξ + Uηξ + Uξη + Uηη + yUξ + yUη - xUξ + xUη + xyU = 0. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми производными: (Uξξ + 2yUξ + xyU) + (Uηη + 2xUη + xyU) + 2(Uξη + Uηξ) = 0. Обозначим новые функции: V(ξ, η) = Uξξ + 2yUξ + xyU, W(ξ, η) = Uηη + 2xUη + xyU. Тогда исходное уравнение можно записать в виде: V(ξ, η) + W(ξ, η) + 2(Uξη + Uηξ) = 0. Выполним дальнейшие преобразования: 2(Uξη + Uηξ) = -V(ξ, η) - W(ξ, η). Разделим обе части на 2: Uξη + Uηξ = -1/2 * (V(ξ, η) + W(ξ, η)). Обозначим новую функцию: Q(ξ, η) = Uξη. Тогда получим следующие уравнения: Q + Qξ + Qη = -1/2 * (V + W), Q = Uξη. Теперь необходимо решить систему этих уравнений. Заметим, что первое уравнение является уравнением в частных производных первого порядка. Для его решения введем новую функцию R(ξ, η) следующим образом: Q = Rξ. Тогда первое уравнение примет вид: Rξ + Rξξ + Rξη = -1/2 * (V + W). Выразим Rξη через частные производные R: Rξη = -(V + W + Rξ + Rξξ) / 2. Тогда первое уравнение примет вид: Rξ + Rξξ - (V + W + Rξ + Rξξ) / 2 = 0. Упростим это уравнение: Rξ + Rξξ - V/2 - W/2 - Rξ/2 - Rξξ/2 = 0. Сгруппируем слагаемые: Rξ - Rξ/2 + Rξξ - Rξξ/2 - V/2 - W/2 = 0. Упростим выражение: Rξ/2 + Rξξ/2 = -V/2 - W/2. Опустим деление на 2: Rξ + Rξξ = -V - W. Полученное уравнение является уравнением в частных производных первого порядка и может быть решено как обыкновенное дифференциальное уравнение. Имеет вид: Rξ + Rξξ = -V - W. Теперь найдем общее решение этого уравнения. Рассмотрим его характеристическое уравнение: λ + λ^2 = 0, λ(1 + λ) = 0. Таким образом, возможны два случая: 1) λ = 0, 2) λ = -1. Для первого случая решением будет функция R1(ξ): R1(ξ) = C1, где C1 - произвольная постоянная. Для второго случая решением будет функция R2(ξ): R2(ξ) = C2 * e^(-ξ), где C2 - произвольная постоянная. Таким образом, общее решение уравнения Rξ + Rξξ = -V - W будет выглядеть следующим образом: R(ξ) = R1(ξ) + R2(ξ) = C1 + C2 * e^(-ξ). Подставляя это решение в уравнение Rξ + Rξξ = -V - W, получим уравнение для поиска функций V и W: (C1 + C2) + C2 * e^(-ξ) + (C1 + C2) * e^(-ξ) = -V - W. Решением этого уравнения будет функция V(ξ, η): V(ξ, η) = -(C1 + C2) - C2 * e^(-ξ) - (C1 + C2) * e^(-ξ). Заметим, что решение для функции W может быть получено аналогичными рассуждениями. Таким образом, общее решение исходного уравнения Uxx + yUx + xUy + xyU = 0 будет иметь вид: U(ξ, η) = Q(ξ, η) / ξ = R(ξ) / ξ = (C1 + C2 * e^(-ξ)) / ξ, где С1 и С2 - произвольные постоянные. Таким образом, найдено общее решение заданного уравнения Uxx + yUx + xUy + xyU = 0 и оно задается выражением U(ξ, η) = (C1 + C2 * e^(-ξ)) / ξ, где С1 и С2 - произвольные постоянные.