Чтобы найти значения x, при которых значения производной функции f(x) = x + 1/x^2 + 3 отрицательны, нужно найти значения x, при которых производная f'(x) меньше нуля. Начнем с нахождения производной функции f(x). Поскольку функция представлена в виде суммы трех слагаемых, мы можем воспользоваться правилами дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности. Дифференцируем первое слагаемое x по правилу производной суммы, получаем 1. Дифференцируем второе слагаемое 1/x^2 по правилу производной частного, получаем -2/x^3. Дифференцируем третье слагаемое 3 по правилу производной константы, получаем 0. Теперь сложим все слагаемые и получим производную функции f(x): f'(x) = 1 - 2/x^3 + 0 = 1 - 2/x^3. Теперь решим неравенство f'(x) < 0. Для этого выразим все слагаемые через общий знаменатель: f'(x) = (x^3 - 2)/x^3 < 0. Теперь мы можем решить данное неравенство графически или аналитически. Аналитически: Для начала заметим, что x^3 - 2 > 0. Так как f'(x) < 0, представим все слагаемые с общим знаменателем и вынесем общий множитель: f'(x) = (x^3 - 2)/x^3 < 0. Таким образом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель (x^3 - 2) был отрицательным, а знаменатель (x^3) положительным. x^3 - 2 < 0, x^3 < 0. Решим первое неравенство: x^3 - 2 < 0, x^3 < 2. С помощью кубического корня находим корень: x < ∛2. Однако, так как неравенство вида x < ∛2, областью значений является: x ∈ (-∞, ∛2). Теперь решим второе неравенство: x^3 > 0. Поскольку квадратный корень из нуля равен нулю, областью значений является: x ∈ (0, +∞). Итак, с помощью аналитического метода мы нашли, что значения x, при которых значения производной функции f(x) отрицательны, находятся в интервале (-∞, ∛2) объединенном с интервалом (0, +∞). Графически: Также можно решить данное неравенство графически, что поможет наглядно представить область значений переменной x. График функции f(x) будет стремиться к асимптоте y = x налево и к асимптоте y = x+3 направо. График будет иметь точку перегиба и экстремум, которые можно найти приравняв производную к нулю. Таким образом, значений x, при которых значения производной функции f(x) отрицательны, будет в области графика справа от точки перегиба и слева от асимптоты y = x. Итак, решив неравенство аналитически или графически, мы получаем, что значения x, при которых значения производной функции f(x) отрицательны, находятся в интервале (-∞, ∛2) объединенном с интервалом (0, +∞).