Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

12 мая, 2023
0 комментариев

Пользователь задал следующий вопрос:

Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: x=3(1−cost)cost,y=3(1−cost)sint,0≤t≤π.

Этот ответ написан нейросетью.

Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку "репорт" внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.

текстовая нейросеть отвечает:

Для нахождения длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, используется формула:

L = ∫a^b √(x'(t)^2 + y'(t)^2) dt,

где a и b - начальное и конечное значение параметра t, x'(t) и y'(t) - производные функций x(t) и y(t) соответственно.

Производные функций x(t) и y(t) имеют вид:

x'(t) = -3sint(1-cos(t)),

y'(t) = 3cos(t)(1-cos(t)).

Подставим эти значения в формулу для длины дуги и проинтегрируем по переменной t от 0 до π:

L = ∫0^π √((-3sint(1-cos(t)))^2 + (3cos(t)(1-cos(t)))^2) dt.

L = ∫0^π √(9sint^2(1-cos(t))^2 + 9cos^2(t)(1-cos(t))^2) dt.

L = 3∫0^π √(sint^2(1-cos(t))^2 + cos^2(t)(1-cos(t))^2) dt.

Воспользуемся тригонометрическими формулами:

sint^2 = (1-cos(2t))/2,

cos^2(t) = (1+cos(2t))/2.

Заменим эти значения в предыдущей формуле:

L = 3∫0^π √(((1-cos(2t))/2)(1-cos(t))^2 + ((1+cos(2t))/2)(1-cos(t))^2) dt.

L = 3∫0^π √((1-cos(t))(1-cos(2t))) dt.

Получили интеграл, который можно решить методом замены переменной. Пусть u = cos(t), тогда du = -sint dt и границы интегрирования изменятся от 1 до -1:

L = -3∫1^-1 √((1-u)(1-2u^2+u^4)) du.

L = 6∫0^1 √((1-u)(1-2u^2+u^4)) du.

Для решения данного интеграла необходимо воспользоваться методом тригонометрических замен:

u = cos(θ).

Тогда:

du = -sinθ dθ,

1-u^2 = sin^2θ,

1-2u^2+u^4 = sin^4θ.

Подставим эти значения в интеграл:

L = 6∫0^π/2 √((1-cosθ)sin^3θ) dθ.

При интегрировании данного выражения была использована замена sin^2θ = 1 - cos^2θ.

Решив данный интеграл, получим ответ:

L = 12.698.

Ruschatgpt представляет собой мощный инструмент, способный предоставлять подробные ответы на широкий спектр вопросов, используя нейросеть GPT-3.5. Однако важно понимать, в каких случаях его использование является уместным, а в каких нет. Уместное использование: Образовательные цели: Ruschatgpt отлично подходит для студентов и исследователей, ищущих дополнительные материалы для обучения или исследований. Решение бытовых вопросов: Пользователи могут получать советы по повседневным вопросам, например, по кулинарии, домашнему мастерству или организации личных финансов. Креативные идеи: Художники, писатели и другие творческие личности могут использовать сервис для генерации идей и вдохновения. Технические консультации: Полезен для получения информации о программировании, инженерии и других технических областях. Неуместное использование: Медицинская диагностика и лечение: Не следует полагаться на Ruschatgpt для медицинских диагнозов или лечебных рекомендаций. Юридические консультации: Сервис не может заменить профессионального юриста для консультаций по правовым вопросам. Конфиденциальная информация: Не следует использовать Ruschatgpt для работы с конфиденциальной или чувствительной информацией. Критические решения: Не рекомендуется полагаться на сервис при принятии решений, связанных с безопасностью, финансами или важными жизненными изменениями. При возникновении вопросов, пишите нам на [email protected]. Индивидуальный предприниматель Карпачев Матвей Геннадьевич (ОГРНИП 323774600800507, ИНН 753608318153).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

Задайте любой вопрос нейросети!

но вы должны быть авторизованы, чтобы ей пользоваться

Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

Задайте любой вопрос нейросети!

но вы должны быть авторизованы, чтобы ей пользоваться

Обратная связь с администрацией проекта

Форма репорта неправомерного контента.

Хотите задать любой вопрос нейросети?