Для начала найдем проекцию вектора d на ось вектора c.
Проекция вектора d на ось вектора c равна произведению вектора d на единичный вектор, коллинеарный с вектором c.
Единичный вектор, коллинеарный с вектором c, можно получить, разделив вектор c на число его модуля.
Модуль вектора c можно найти по формуле:
|c| = sqrt(c1^2 + c2^2 + c3^2), где c1, c2, c3 - координаты вектора c.
Исходя из заданных данных, имеем:
c = (-2, 6, -3).
Модуль вектора c = |c| = sqrt((-2)^2 + 6^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 36 + 9) = sqrt(49) = 7.
Теперь найдем единичный вектор, коллинеарный с вектором c, разделив координаты вектора c на его модуль:
u = c/|c| = (-2/7, 6/7, -3/7).
Теперь можно найти проекцию вектора d на ось вектора c, умножив вектор d на единичный вектор u:
proj_c(d) = d * u = (d1, d2, d3) * (-2/7, 6/7, -3/7).
По условию задачи известно, что проекция вектора d на ось вектора c равна -12. То есть, proj_c(d) = -12.
Подставим значенияно в уравнение и получим:
d1 * (-2/7) + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7) = -12.
Теперь найдем вектор d, ортогональный векторам a и b. Для этого нужно найти векторное произведение векторов a и b.
Векторное произведение двух векторов a и b можно найти с помощью определителя матрицы, составленной из координат векторов:
a x b = | i j k |
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
где i, j, k - единичные векторы, соответствующие координаты x, y, z.
Подставим значения векторов:
a = (-2, 1, 0),
b = (-1, 0, 2).
Вычислим определитель данной матрицы:
a x b = | i j k |
| -2 1 0 |
| -1 0 2 |
= (1 * 2 - 0 * 1, 0 * 2 - 2 * (-2), -2 * 0 - (-1) * 1) = (2, 4, 1).
Таким образом, вектор d должен быть параллелен вектору (2, 4, 1).
Теперь у нас есть два уравнения:
d1 * (-2/7) + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7) = -12,
d1 * 2 + d2 * 4 + d3 * 1 = 0.
Решим данную систему уравнений методом подстановки и найдем значения d1, d2 и d3.
Сначала с учетом первого уравнения найдем d1:
d1 = (-12 + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2).
Теперь подставим найденное значение d1 во второе уравнение и найдем d2:
2 * ((-12 + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2)) + d2 * 4 + d3 * 1 = 0.
Рассмотрим данный многочлен как функцию от d2 и найдем ее корни:
f(d2) = -12 + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2)) * 2 + d2 * 4 + d3 * 1 = 0.
f(d2) = -12 - (6/7) * (7/2) * d2 + (6/7) * (3/2) * d3 + 2 * d2 + d3 = 0.
f(d2) = -12 - 6 * d2 + (9/7) * d3 + 2 * d2 + d3 = 0.
f(d2) = -4 * d2 + (9/7) * d3 - 12 + d3 = 0.
f(d2) = -4 * d2 + (16/7) * d3 - 12 = 0.
Найдем корни многочлена f(d2) относительно d2 и d3:
d2 = ((16/7) * d3 - 12) / 4.
Подставим найденное значение d2 в первое уравнение и найдем d3:
((-12 + (((16/7) * d3 - 12) / 4)) * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2) = -12.
simplify((-12 + (((16/7) * d3 - 12) / 4)) * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2) = -12.
-6 - 2/7 * d3 + 6 * d3 - 3/7 * d3 = -12.
-8/7 * d3 + 6 * d3 = -12 + 6.
-8/7 * d3 + 42/7 * d3 = -6.
(42/7 - 8/7) * d3 = -6.
(34/7) * d3 = -6.
d3 = -6 / (34/7) = -6 * (7/34).
d3 = -42/34 = -21/17.
Теперь подставим найденное значение d3 в найденные ранее формулы для d1 и d2 и найдем искомые значения:
d1 = (-12 + d2 * (6/7) + d3 * (-3/7)) * (-7/2) = (-12 + (((16/7) * (-21/17) - 12) / 4)) * (6/7) + (-21/17) * (-3/7)) * (-7/2).
d2 = ((16/7) * d3 - 12) / 4 = ((16/7) * (-21/17) - 12) / 4.
Теперь можем найти вектор d:
d = (d1, d2, d3).
Подставим найденные значения d1, d2 и d3 и получим окончательный ответ.
