Интегральное представление функции e^{-x^2/2} можно получить с помощью так называемого интеграла Гаусса. Для этого рассмотрим функцию F(a) = int_{-infty}^{+infty} e^{-a x^2} ,dx, где a > 0 — параметр, который будем выбирать так, чтобы интеграл был сходящимся. Докажем, что при a = 1 интеграл F(1) равен квадратному корню из pi. Для начала заметим, что при a = 1 функцию e^{-x^2} нельзя просто так проинтегрировать по x, так как интеграл от этой функции не имеет элементарной антипроизводной. Однако, этот интеграл можно выразить через себя же. Имеем: F(1) = int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} ,dx. Теперь возводим этот интеграл в квадрат: [F(1)]^2 = left( int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} ,dx right) left( int_{-infty}^{+infty} e^{-y^2} ,dy right). Преобразуем правую часть: [F(1)]^2 = int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty} e^{-(x^2 + y^2)} ,dx ,dy. Введем полярные координаты для переменных x и y: x = r cos(theta), y = r sin(theta). Тогда якобиан преобразования равен r, а элемент площади dxdy преобразуется в rdtheta dr. Подставляем это в интеграл: [F(1)]^2 = int_{-infty}^{+infty} int_{0}^{infty} e^{-r^2} r ,dr ,dtheta. Вычисляем первый интеграл: [F(1)]^2 = int_{-infty}^{+infty} left( - frac{1}{2} e^{-r^2} Big|_0^{infty} right) dtheta. Константы во внешнем интеграле исчезают, так как мы интегрируем по переменной, ограниченной на бесконечности. Остается только минус перед первым слагаемым: [F(1)]^2 = - int_{-infty}^{+infty} frac{1}{2} dtheta. Интеграл от константы равен самой константе, а интегрирование по переменной theta в пределах от -infty до +infty по сути означает интегрирование по всем углам. Так как весь круг составляет 2pi радиан, получаем: [F(1)]^2 = - frac{1}{2} cdot 2pi. Минус и 2 в числителе и знаменателе сокращаются: [F(1)]^2 = pi. Производя выборку корня из pi, получаем: F(1) = sqrt{pi}. Итак, наш интеграл F(a) при a = 1 равен корню из pi, а заданная нам функция e^{-x^2/2} — это частный случай этого интеграла при a = 1/2: int_{-infty}^{+infty} e^{-frac{x^2}{2}} ,dx = sqrt{2pi}.