Для того чтобы найти наименьшее значение выражения, нужно минимизировать каждый его компонент отдельно и потом сложить получившиеся значения. В данном выражении есть две переменные: x и y. Давайте начнем с минимизации по переменной x. Для этого мы должны найти экстремумы функции относительно x. Для этого возьмем производную по x и приравняем ее к нулю. <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=frac{{d}}{{dx}} (4y^2 - 4xy + 2 cdot 2 - 6x + 11) = 0"> Упростим это выражение, раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=-4y %2B 6 = 0"> Теперь решим это уравнение относительно x: <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=6 = 4y"> Делая простые алгебраические преобразования, мы получаем: <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=y = frac{6}{4} = frac{3}{2}"> Таким образом, мы нашли значение y, при котором производная относительно x равна нулю. Чтобы убедиться, что это минимум, рассмотрим вторую производную: <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=frac{{d^2}}{{dx^2}} (4y^2 - 4xy + 2 cdot 2 - 6x + 11) = -4"> Эта вторая производная отрицательна, поэтому мы можем сказать, что когда x = 3/2, функция достигает локального минимума. Теперь мы знаем, что x = 3/2 и y = 3/2 являются значениями, при которых наше выражение достигает минимального значения. Подставим их обратно в исходное выражение, чтобы найдем это значение. <img src="https://render.githubusercontent.com/render/math?math=4 left( frac{3}{2} right)^2 - 4 cdot frac{3}{2} cdot frac{3}{2} + 2 cdot 2 - 6 cdot frac{3}{2} + 11 = frac{13}{2}"> Таким образом, наименьшее значение выражения равно 13/2 или 6.5.