Дано уравнение (x - 2023a)√x - 2022a + 2023 = 0. Нужно найти наибольшее целое значение a, при котором это уравнение имеет ровно одно решение.
Для начала, заметим, что √x не может быть равно нулю, так как корень из нуля равен нулю, и тогда уравнение превращается в неравенство -2022a + 2023 ≠ 0. Решений у такого неравенства нет, поэтому корень √x не может быть нулем. Таким образом, мы можем разделить уравнение на √x и получим (x - 2023a) - (2022a/√x) + 2023/√x = 0.
Рассмотрим два случая:
1. Если x = 0, то уравнение превращается в -2022a + 2023 = 0. Оно имеет одно решение при a = 2023/2022 = 1. В этом случае произведение (√x)(x - 2023a) будет равно 0, что дает единственное решение.
2. Если x ≠ 0, то мы можем разделить уравнение на x и получим (x/√x - 2023a/√x) - (2022a/√x)/x + 2023/√x = 0. Приведем это уравнение к квадратному виду относительно переменной √x, а именно, (x/√x - 2023a/√x)^2 - (2*2022a)/x + 2023/√x = 0.
Обозначим z = √x. Тогда уравнение можно переписать в виде (z^2 - 2023az + 2023^2) - (2*2022a)/z + 2023/z = 0. Уравнение имеет вид квадратного трехчлена ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -2023a - (2*2022a)/z и c = 2023^2 + 2023/z.
Условие того, чтобы уравнение имело ровно одно решение, это то, что его дискриминант D равен нулю. Дискриминант квадратного трехчлена определяется как D = b^2 - 4ac.
Подставляем значения коэффициентов в формулу для D:
D = (-2023a - (2*2022a)/z)^2 - 4 * 1 * (2023^2 + 2023/z)
Упростим выражение:
D = (-2023a - (2*2022a)/z)^2 - 4 * (2023^2 + 2023/z)
Раскроем скобки в выражении и приведем всё к общему знаменателю:
D = ((-2023az - 2*2022a)/z)^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
Приведем числитель первого слагаемого равенства к общему знаменателю:
D = ((-2023az - 2*2022a)^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
Раскроем квадрат в числителе:
D = (2023^2*a^2*z^2 + 2*2*2022a*(-2023az) + (2*2022a)^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
Упростим числитель:
D = (2023^2*a^2*z^2 - 2*2*2022a*2023az + (2*2022a)^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
Упростим дальше:
D = (2023^2*a^2*z^2 - 2*2*2022a*2023az + 2^2*2022^2a^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
D = (2023^2*a^2*z^2 - 2*2*2022a*2023az + 2022^2a^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
D = (2023^2*a^2*z^2 - 4*2022*2023a^2z + 2022^2a^2)/z^2 - 4 * (2023^2*z + 2023)/z
Умножим каждое слагаемое на z^2, чтобы избавиться от знаменателя:
D = (2023^2*a^2*z^2 - 4*2022*2023a^2z + 2022^2a^2) - 4 * z * (2023^2*z + 2023)
Раскроем скобки:
D = 2023^2*a^2*z^2 - 4*2022*2023a^2z + 2022^2a^2 - 4 * z * 2023^2*z - 4 * z * 2023
D = 2023^2*a^2*z^2 - 4*2022*2023a^2z + 2022^2a^2 - 4 * 2023^2*z^2 - 4 * z * 2023
Факторизуем:
D = 2023^2 * (a^2*z^2 - 4*a^2) - 4 * 2023^2 * z^2 - 4 * z * 2023
D = 2023^2 * (a^2*z^2 - 4) - 4 * 2023^2 * z^2 - 4 * z * 2023
D = 2023^2 * (a^2*z^2 - 4) - 4 * 2023 * (2023 * z^2 + z)
Таким образом, чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо, чтобы его дискриминант D равнялся нулю:
2023^2 * (a^2*z^2 - 4) - 4 * 2023 * (2023 * z^2 + z) = 0
Очевидно, что здесь дискриминант представляет собой квадратный трехчлен в переменной z (которая соответствует переменной √x), и чтобы он равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы сам трехчлен был равен нулю.
(a^2*z^2 - 4) = 0
Для квадратного трехчлена a^2*z^2 - 4 = 0, где a - произвольное число, существует два корня, один положительный и один отрицательный: z = ±2/a.
Для нашего уравнения ищем решение только в положительных числах, поэтому выбираем значение z = 2/a.
Теперь мы можем вернуться к определению z = √x и подставить значение z = 2/a, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют уравнению.
z = √x
2/a = √x
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(2/a)^2 = (√x)^2
4/a^2 = x
То есть, для значения x, которое удовлетворяет уравнению, должно выполняться: x = 4/a^2.
Следовательно, найденное значение z = 2/a равно корню из x = √(4/a^2) = 2/|a|.
Так как √x > 0 и x > 0, получаем условие a ≠ 0. То есть, a ≠ 0.
Перейдем теперь к исходному уравнению и воспользуемся полученным решением: (x - 2023a)√x - 2022a + 2023 = 0.
Подставляем значение z = 2/a вместо √x:
(x - 2023a) * (2/|a|) - 2022a + 2023 = 0
Раскрываем скобки:
2x - 4046a + 2023a|a| - 2022a + 2023 = 0
Упрощаем выражение:
2x - 4046a + 2023a|a| - 2022a + 2023 = 0
2x - 6069a + 2023a|a| = 0
Переносим все слагаемые с a влево, а остальные вправо:
2023a|a| + 2x = 6069a
2023|a^2| + 2x = 6069a
Поскольку нам нужно найти наибольшее целое значение a, при котором уравнение имеет ровно одно решение, то положительные значения a нельзя рассматривать, так как в этом случае слева будет стоять |a^2| и полученное уравнение будет иметь два решения. Поэтому будем рассматривать только отрицательные значения a.
Разобьем решение на два случая в зависимости от значения a:
1. Если a < 0, то у нас имеется два модуля |a| и |a^2|. Заменяем модули на их аргументы:
2023a^2 + 2x = 6069a
2x = -2023a^2 + 6069a
Делим обе части уравнения на 2:
x = -1011.5a^2 + 3034.5a
Строим график этой функции:
2. Если a = 0, то разделим исходное уравнение на √x:
√x - 2023a + 2023/√x = 0
√x + 2023/√x = 2023a
Необходимо исследовать знак полученного уравнения. Так как a = 0, то √x + 2023/√x = 0. Значит, решений в этом случае нет.
Исследуем график функции x = -1011.5a^2 + 3034.5a:
[Вставить график функции]
Найдем вершины параболы, то есть, найдем значение a, при котором x будет находиться на вершине параболы. Для этого найдем координаты вершины параболы с помощью формулы высоты h = h0 + (a - a0), где а0 = -3034.5/(2*-1011.5).
a0 = -3034.5/(2*-1011.5) ≈ -1.5
То есть, вершина параболы находится при a ≈ -1.5 и имеет координаты:
x0 = -1011.5 * (-1.5)^2 + 3034.5 * (-1.5) ≈ 3035.25
Так как значение a должно быть целым числом, округлим найденное значение до целого числа:
a0 ≈ -2
x0 ≈ 3035 (ближайшее целое число).
Очевидно, что можно получить более меньшие значения x, уменьшая значение a. То есть, график параболы будет продолжаться вниз.
Определим область значений для a: a < 0.
Теперь выберем на графике значения, при которых функция убывает и имеет единственную точку пересечения с осью Ox. Это будет наименьшее значение x на вершине и наименьшее значение x при а = -1.
При a = -1,
