Дано выражение: -5y^2 + 4xy + 6y - x^2 - 5. Мы должны найти наибольшее значение этого выражения при любых действительных значениях x и y. Для начала, давайте выделим два члена, содержащие переменную x и переместим их ближе друг к другу: -5y^2 + 4xy + 6y - x^2 - 5 = -x^2 + 4xy - 5y^2 + 6y - 5. Заметим, что есть два члена, содержащие переменную y^2. Попробуем их сгруппировать: (-x^2 - 5y^2) + (4xy + 6y) - 5. Теперь видно, что у нас есть разница квадратов (-x^2 и -5y^2). Мы можем преобразовать это выражение в разность квадратов: -(x^2 + 5y^2) + (4xy + 6y) - 5. Теперь выражение имеет вид: -(a^2 + b^2) + (2ab + c) - d. Мы знаем, что максимальное значение разности квадратов -(a^2 + b^2) достигается, когда a = b = 0. Из нашего преобразованного выражения видно, что максимальное значение этого выражения будет достигаться, когда x^2 + 5y^2 = 0 и 4xy + 6y = 0. Для того чтобы найти максимальное значение, мы должны решить эти два уравнения. 1. x^2 + 5y^2 = 0: Квадратное уравнение, но сумма двух квадратов не может быть равна нулю, если переменные x и y являются действительными числами. Значит это уравнение не имеет решений. 2. 4xy + 6y = 0: Вынесем y за скобку: y(4x + 6) = 0. Возможные варианты: - y = 0, исключает переменную y из уравнения. - 4x + 6 = 0. 4x = -6. x = -6/4. x = -3/2. Таким образом, максимальное значение данного выражения будет достигаться при x = -3/2 и y = 0. Подставим эти значения в исходное выражение: -5(0)^2 + 4(-3/2)(0) + 6(0) - (-3/2)^2 - 5 = 0 + 0 + 0 - 9/4 - 5 = -9/4 - 20/4 = -29/4. Таким образом, наибольшее значение данного выражения равно -29/4.