Дано выражение: -5y² + 4xy + 6y - x² - 5 Необходимо найти его наибольшее значение при любых действительных значениях переменных x и y. Для начала заметим, что данное выражение является квадратным трёхчленом, так как содержит только две переменные, x и y, в степени не выше второй. Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо найти точку экстремума - максимум или минимум. Для этого возьмём частные производные выражения по переменным x и y и приравняем их к нулю: d/dx (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = 0 d/dy (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = 0 Найденные значения x и y будут координатами точки экстремума. Расчитаем частные производные: d/dx (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = 0 -2x + 4y = 0 d/dy (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = 0 -10y + 4x + 6 = 0 Получили систему уравнений: -2x + 4y = 0 -10y + 4x + 6 = 0 Решим эту систему методом подстановки: Из первого уравнения выразим x через y: -2x = -4y x = 2y Подставим это значение во второе уравнение: -10y + 4(2y) + 6 = 0 -10y + 8y + 6 = 0 -2y + 6 = 0 2y = 6 y = 3 Теперь найдём значение x, подставив y = 3 в первое уравнение: -2x + 4(3) = 0 -2x + 12 = 0 -2x = -12 x = -6 Таким образом, точка экстремума имеет координаты x = -6 и y = 3. Далее, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, вычислим вторые производные по x и y: d²/dx² (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = -2 d²/dxdy (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = 4 d²/dy² (-5y² + 4xy + 6y - x² - 5) = -10 Подставим найденные значения x = -6 и y = 3: d²/dx² (-5(3)² + 4(-6)(3) + 6(3) - (-6)² - 5) = -2 d²/dxdy (-5(3)² + 4(-6)(3) + 6(3) - (-6)² - 5) = 4 d²/dy² (-5(3)² + 4(-6)(3) + 6(3) - (-6)² - 5) = -10 Получили: d²/dx² (-5(9) - 72 + 18 - 36 - 5) = -2 d²/dxdy (-5(9) - 72 + 18 - 36 - 5) = 4 d²/dy² (-5(9) - 72 + 18 - 36 - 5) = -10 d²/dx² (-45 - 72 + 18 - 36 - 5) = -2 d²/dxdy (-45 - 72 + 18 - 36 - 5) = 4 d²/dy² (-45 - 72 + 18 - 36 - 5) = -10 d²/dx² (-140) = -2 d²/dxdy (-140) = 4 d²/dy² (-140) = -10 -140 и -140 являются симметричными числами относительно нуля, следовательно, они имеют одинаковую ориентацию - минимумы или максимумы. Так как в данной задаче требуется найти наибольшее значение выражения, значит, найденная точка экстремума является максимумом. Подставим полученные значения x = -6 и y = 3 в исходное выражение: -5(3)² + 4(-6)(3) + 6(3) - (-6)² - 5 = -45 - 72 + 18 - 36 - 5 = -140 Таким образом, наибольшее значение выражения равно -140.