Для начала перепишем систему неравенств в более удобном виде: 1) (x^2 + y^2 + 8189104 leq 4046x + 4048y) 2) (y + x leq 4047) Перепишем первое неравенство в виде: [x^2 - 4046x + y^2 - 4048y + 8189104 leq 0] Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке ((2023, 2024)) и радиусом (2048). Графически это выглядит следующим образом:  Теперь построим график второго неравенства (y + x leq 4047), которое представляет собой прямую линию с наклоном влево и точкой пересечения с осью (x) в точке ((4047, 0)). Графически это будет выглядеть следующим образом:  Теперь найдем точки пересечения этих двух графиков. Подставим значение (y = 4047 - x) в первое уравнение: [x^2 - 4046x + (4047 - x)^2 - 4048(4047 - x) + 8189104 leq 0] Раскроем скобки и упростим уравнение: [x^2 - 4046x + 4047^2 - 2 cdot 4047x + x^2 - 4048 cdot 4047 + 4048x + 8189104 leq 0] Сгруппируем одинаковые элементы: [2x^2 - 120 cdot 4047x + 2 cdot 4047^2 - 8189104 leq 0] Решим это квадратное уравнение относительно (x), используя дискриминант: [D = (-120 cdot 4047)^2 - 4 cdot 2 cdot (2 cdot 4047^2 - 8189104)] [= 144 cdot 4047^2 - 2 cdot 2 cdot (2 cdot 4047^2 - 8189104)] [= 144 cdot 4047^2 - 16 cdot 4047^2 + 2 cdot 8189104] [= 1296 cdot 4047^2 - 16 cdot 4047^2 + 16378208] [= 1280 cdot 4047^2 + 16378208] [x_1 = frac{-(-120 cdot 4047) + sqrt{D}}{2 cdot 2}] [x_2 = frac{-(-120 cdot 4047) - sqrt{D}}{2 cdot 2}] Теперь найдем соответствующие значения (y) для каждого из решений (x), используя второе уравнение (y + x leq 4047). Подставим значение (x_1) во второе уравнение: [y + x_1 leq 4047] [y + frac{-(-120 cdot 4047) + sqrt{D}}{2 cdot 2} leq 4047] [y_1 = 4047 - x_1] Аналогично, подставим значение (x_2) во второе уравнение: [y + x_2 leq 4047] [y + frac{-(-120 cdot 4047) - sqrt{D}}{2 cdot 2} leq 4047] [y_2 = 4047 - x_2] Таким образом, получаем две пары точек, удовлетворяющих системе неравенств: ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) Теперь остается проверить, являются ли найденные точки с целочисленными координатами. Поскольку у нас квадратичное уравнение в первом неравенстве, нам необходимо найти целочисленные корни этого уравнения. Однако, в данном случае нам нужно найти целочисленные точки, удовлетворяющие всей системе неравенств, а не только первому неравенству. Поэтому нам нужно проверить каждую найденную точку отдельно, чтобы убедиться, что она удовлетворяет обоим неравенствам. Вычислим каждую из найденных точек: [x_1 = frac{-(-120 cdot 4047) + sqrt{D}}{2 cdot 2} = frac{485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}] [y_1 = 4047 - x_1 = frac{161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}] [x_2 = frac{-(-120 cdot 4047) - sqrt{D}}{2 cdot 2} = frac{485640 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}] [y_2 = 4047 - x_2 = frac{161880 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}] Проверим каждую точку: Для точки ((x_1, y_1)): (x_1 = frac{485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}) (y_1 = frac{161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}) Подставим эти значения в первое неравенство: (left( frac{485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} right)^2 + left( frac{161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} right)^2 + 8189104 leq 4046 cdot frac{485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} + 4048 cdot frac{161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}) [ frac{(485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208})^2} {16} + frac{(161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208})^2} {16} + 8189104 leq frac{4046(485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}) + 4048(161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208})}{4}] Раскроем квадраты в числителях и сократим числители и знаменатель на 16: [ (485640^2 + 2 cdot 485640 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 1296 cdot 4047^2 + 16378208) ] [+ (161880^2 - 2 cdot 161880 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 1296 cdot 4047^2 + 16378208) + 16 cdot 8189104] [ leq (4046(485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}) + 4048(161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208})) ] Сократим одинаковые слагаемые: [ 485640^2 + 161880^2 + 2 cdot 485640 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} - 2 cdot 161880 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 2 cdot 1296 cdot 4047^2 + 2 cdot 16378208 + 16 cdot 8189104 ] [ leq 4046(485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}) + 4048(161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}) ] Упростим выражение справа: [ 485640 cdot 4046 + 4046 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 161880 cdot 4048 - 4048 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} ] Теперь приведем подобные слагаемые: [ 602290448 + 4 cdot 4046 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 4 cdot 1296 cdot 4047^2 + 2 cdot 16378208 + 16 cdot 8189104 ] [ leq 485640 cdot 4046 + 4046 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} + 161880 cdot 4048 - 4048 cdot sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208} ] Сократим одинаковые слагаемые: [ 602290448 + 2 cdot 16378208 + 16 cdot 8189104 leq 485640 cdot 4046 + 161880 cdot 4048 ] [ 602290448 + 32756416 + 131026464 leq 1965877440 + 655782240 ] [ 2350738528 leq 2621669680 ] Условие неравенства выполняется, что значит, что точка ((x_1, y_1)) удовлетворяет первому неравенству. Теперь проверим, являются ли координаты целыми числами. Заметим, что значения в числителях и знаменателе уравнения были представлены в виде: [ frac{A}{B} + frac{C}{D} ] Где (A, B, C, D) - целые числа. Значит, ответ будет представлен в виде целого числа. Округлим вниз значения (x_1) и (y_1) до ближайших целых чисел: [ x_1 = leftlfloor frac{485640 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} rightrfloor = 123260 ] [ y_1 = leftlfloor frac{161880 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} rightrfloor = 37563 ] Таким образом, точка ((x_1, y_1) = (123260, 37563)) является целочисленной точкой, удовлетворяющей обоим неравенствам. Теперь проведем аналогичные вычисления для точки ((x_2, y_2)). Подставим значения второго неравенства ( x_2 ) и ( y_2 ) и проверим, выполняется ли это неравенство: Для точки ((x_2, y_2)): (x_2 = frac{485640 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}) (y_2 = frac{161880 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4}) Подставим эти значения в первое неравенство: (left( frac{485640 - sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208}}{4} right)^2 + left( frac{161880 + sqrt{1296 cdot 4047^2 + 16378208