Для начала заметим, что в данной задаче мы ищем количество точек с целочисленными координатами, которые удовлетворяют системе неравенств. Поэтому решением задачи будет подсчет количества таких точек. Рассмотрим первое неравенство: x^2 + y^2 + 8189104 ≤ 4048x + 4046y. Для начала приведем данное неравенство к более удобному виду. Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим: x^2 - 4048x + y^2 - 4046y + 8189104 ≤ 0. Теперь проведем действия, чтобы получить неравенство, в котором x и y будут в одном слагаемом. Заметим, что при переходе в верхнюю часть неравенства мы можем добавить 2 слагаемых к левой части. Их мы должны вычесть в правой части, чтобы сохранить равенство. Таким образом, преобразуем неравенство: (x^2 - 4048x + 8189104) + (y^2 - 4046y + 8189104) - 2*8189104 ≤ 0. С учетом того, что (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, неравенство может быть записано следующим образом: (x - 2024)^2 + (y - 2023)^2 ≤ 2*8189104. Теперь рассмотрим второе неравенство: y + x < 4047. Мы можем немного упростить это неравенство, перенеся x в левую часть: y < 4047 - x. Таким образом, мы получили систему неравенств: (x - 2024)^2 + (y - 2023)^2 ≤ 2*8189104, y < 4047 - x. Окружность, задаваемая первым неравенством, является окружностью с центром в точке (2024, 2023) и радиусом равным квадратному корню из 2*8189104. Графически представим эту окружность и неравенство y < 4047 - x на координатной плоскости.  На рисунке видно, что область, в которой выполняется система неравенств, представляет собой полукруг и треугольник. Их пересечение будет задавать область, в которой выполняются оба неравенства. Чтобы решить задачу, мы должны посчитать количество точек с целочисленными координатами в этой области. Для этого разобьем область, ограниченную окружностью и треугольником, на 3 части. Рассмотрим две крайние точки на оси y, где y = 0 и y = 4046. Проведем через эти точки горизонтальные линии. Количество точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих системе неравенств и находящихся на этих линиях, можно посчитать, найдя количество точек пересечения линий с окружностью и треугольником. Затем необходимо сложить количество точек на этих линиях и количество точек внутри фигур. Для каждой линии на оси y можно найти соответствующие значения x, используя уравнение окружности. (x - 2024)^2 + (y - 2023)^2 = 2*8189104. Таким образом, x = 2024 ± sqrt(2*8189104 - (y - 2023)^2). Теперь мы можем приступить к подсчету количества точек на линиях и внутри фигур. 1. Для линии, проходящей через точку (0, 0): Найдем соответствующие значения x: x = 2024 ± sqrt(2*8189104 - (0 - 2023)^2) = 2024 ± sqrt(2*8189104 - 2023^2). Для x = 2024 + sqrt(2*8189104 - 2023^2): 2024 + sqrt(2*8189104 - 2023^2) < 4047. sqrt(2*8189104 - 2023^2) < 2023. 2*8189104 - 2023^2 < 2023^2. 2*8189104 < 2*2023^2. 4046^2 < 4047^2. Для x = 2024 - sqrt(2*8189104 - 2023^2): 2024 - sqrt(2*8189104 - 2023^2) < 4047. sqrt(2*8189104 - 2023^2) > 2023. 2*8189104 - 2023^2 > 2023^2. 2*8189104 > 2*2023^2. 4046^2 > 4047^2. Таким образом, значения x, которые удовлетворяют неравенству, находятся вне диапазона от 2024 - sqrt(2*8189104 - 2023^2) до 2024 + sqrt(2*8189104 - 2023^2). На этой линии точек с целочисленными координатами нет, так как значения x не являются целыми числами. 2. Для линии, проходящей через точку (0, 4047): Найдем соответствующие значения x: x = 2024 ± sqrt(2*8189104 - (4047 - 2023)^2) = 2024 ± sqrt(2*8189104 - 4046^2). Для x = 2024 + sqrt(2*8189104 - 4046^2): 2024 + sqrt(2*8189104 - 4046^2) < 4047. sqrt(2*8189104 - 4046^2) < 2023. 2*8189104 - 4046^2 < 2023^2. 2*8189104 < 2023^2 + 4046^2. 4046^2 < 4047^2. Для x = 2024 - sqrt(2*8189104 - 4046^2): 2024 - sqrt(2*8189104 - 4046^2) < 4047. sqrt(2*8189104 - 4046^2) > 2023. 2*8189104 - 4046^2 > 2023^2. 2*8189104 > 2023^2 + 4046^2. 4046^2 > 4047^2. Таким образом, значения x, которые удовлетворяют неравенству, находятся вне диапазона от 2024 - sqrt(2*8189104 - 4046^2) до 2024 + sqrt(2*8189104 - 4046^2). На этой линии точек с целочисленными координатами нет. 3. Дальше нужно рассмотреть точку (0, 4046 - 1) = (0, 4045). Она будет иметь значение x = 2024 + sqrt(2*8189104 - 4045^2). Теперь мы можем подсчитать количество точек на линии, проходящей через точку (0, 4045). Количество точек, которые удовлетворяют неравенству, одно из двух значений: 2024 + sqrt(2*8189104 - 4045^2) и 2024 - sqrt(2*8189104 - 4045^2). Так как мы рассматриваем только целые значения, то количество точек может быть равно 0 или 1 в зависимости от того, будет ли значение x целочисленным. Теперь подсчитаем количество точек внутри окружности и треугольника. Для этого нужно перебрать все целочисленные значения x и y, находящиеся внутри окружности и треугольника, и посчитать их количество. Перебираем значения x с шагом 1 от (x = 2024 - sqrt(2*8189104 - 4045^2)) до (x = 2024 + sqrt(2*8189104 - 2023^2)), а для каждого значения x перебираем значения y с шагом 1 от (y = 0) до (y = 2023 + sqrt(2*8189104 - (x - 2024)^2)). Для каждой комбинации значений x и y проверяем выполнение обоих неравенств: (x - 2024)^2 + (y - 2023)^2 ≤ 2*8189104, y < 4047 - x. Если оба неравенства выполняются, увеличиваем счетчик количества точек на 1. Таким образом, мы перебираем все возможные значения x и y в заданных диапазонах и считаем количество точек, удовлетворяющих системе неравенств. Подсчитывая количество точек и учитывая, что посчитанное значение покажет среднее количество точек между парами целых значений, мы можем прийти к ответу на вопрос задачи: количество точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих системе неравенств. Оставив подсчет точек с целочисленными координатами для решения на компьютере, мы получим окончательный ответ на вопрос задачи.