Для начала разберемся с системой неравенств: [ left{ begin{array}{ll} X^2 + y^2 + 8189104 leq 4048x + 4046y, \ y + x geq 4047. end{array} right. ] Для удобства, перепишем систему неравенств в виде: [ left{ begin{array}{ll} x^2 - 4046x + y^2 - 4045y + 8189104 leq 0, \ y + x geq 4047. end{array} right. ] Теперь рассмотрим первое неравенство как квадратное уравнение относительно переменной x: [ x^2 - 4046x + y^2 - 4045y + 8189104 leq 0 ] Для решения данного уравнения найдем его дискриминант, который равен: [ D_x = (-4046)^2 - 4 cdot 1 cdot (y^2 - 4045y + 8189104) = 16368116 - 4y^2 + 16180y - 32756416 = 10y^2 - 16180y - 16368116. ] Учитывая, что уравнение имеет два действительных корня, когда его дискриминант больше или равен нулю (D_x ≥ 0), получаем следующее уравнение: [ 10y^2 - 16180y - 16368116 geq 0. ] Дискриминант этого уравнения равен: [ D_y = 16180^2 - 4 cdot 10 cdot (-16368116) = 2 631 696 400. ] Извлекаем корень из дискриминанта: [ sqrt{D_y} = sqrt{2 631 696 400} = 51 312. ] Теперь находим корни уравнения: [ y_{1,2} = frac{16180 pm 51 312}{20} = 2 296,6 или -2 662,6. ] Нам подходит только положительный корень y = 2 296,6. Подставляем x = 4 047 - y: [ x = 4 047 - 2 296,6 = 1 750,4. ] Теперь находим точку с целочисленными координатами: [ (x, y) = (1 750, 2 296). ] Таким образом, имеется одна точка с целочисленными координатами, которая удовлетворяет системе неравенств.