Дана система неравенств: x^2 + y^2 + 8189104 ≤ 4048x + 4046y, y + x < 4047. Для начала рассмотрим первое уравнение x^2 + y^2 + 8189104 ≤ 4048x + 4046y. Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение: x^2 - 4048x + y^2 - 4046y + 8189104 ≤ 0. Чтобы найти точки с целочисленными координатами, удовлетворяющие этому уравнению, можно воспользоваться геометрическим методом. Для этого построим график уравнения на плоскости. Так как уравнение является квадратным, его график представляет собой окружность. Чтобы найти радиус и центр этой окружности, раскроем скобки в левой части уравнения: x^2 - 4048x + y^2 - 4046y + 8189104 ≤ 0, x^2 - 4048x + 2044^2 + y^2 - 4046y + 2023^2 - 2044^2 - 2023^2 + 8189104 ≤ 0, (x - 2044)^2 + (y - 2023)^2 ≤ 2044^2 + 2023^2 - 8189104. Раскроем скобки в правой части уравнения: (x - 2044)^2 + (y - 2023)^2 ≤ 2088681 - 8189104, (x - 2044)^2 + (y - 2023)^2 ≤ -6100423. Так как радиус окружности не может быть отрицательным, условие x^2 + y^2 + 8189104 ≤ 4048x + 4046y не будет выполняться ни для одной точки с целочисленными координатами. Перейдем ко второму неравенству y + x < 4047. Рассмотрим его на графике: | . . | . . | . . y > x | . . | . . | . . Прямая y + x = 4047 разделяет всю плоскость на две части: левую (y + x < 4047) и правую (y + x > 4047). Неравенство в условии системы y + x < 4047 описывает область, находящуюся ниже этой прямой. Для нахождения количества точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих этому неравенству, можно воспользоваться методом перебора всех точек в этой области. Заметим, что искомые точки должны лежать в первой четверти плоскости, так как по условию y + x < 4047, а значения y и x должны быть неотрицательными. В данном случае можно установить границы для перебора точек. Так как y < 4047 - x, и значения x и y должны быть неотрицательными, то можно взять следующие границы: 0 ≤ x ≤ 4046, 0 ≤ y ≤ 4046 - x. Теперь переберем все значения x от 0 до 4046 и для каждого значения x переберем все значения y от 0 до 4046 - x. В каждой точке с целочисленными координатами (x, y), удовлетворяющей этим значениям, проверим выполнение обоих неравенств системы. Если оба неравенства выполняются, увеличим счетчик точек. Таким образом, количество точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих системе неравенств x^2 + y^2 + 8189104 ≤ 4048x + 4046y и y + x < 4047, можно найти перебором всех точек на плоскости, лежащих в первой четверти и удовлетворяющих границам 0 ≤ x ≤ 4046 и 0 ≤ y ≤ 4046 - x.