Для того чтобы найти все значения а, при которых неравенство x² – (2a+1)x + а² + а – 12 ≤ 0 выполняется при любом x∈ (1; 2), мы можем использовать метод подстановки или графический метод.
Начнем с метода подстановки. Подставим каждое из значений a, которые мы хотим проверить, в неравенство и проверим, выполняется ли оно при любом x∈ (1; 2).
1) Если a = 0, мы получим следующее неравенство:
x² – x – 12 ≤ 0
Факторизуем его: (x – 4)(x + 3) ≤ 0
Найдем значения x, при которых неравенство выполняется: x ≤ -3 или x ≥ 4
Поскольку неравенство должно выполняться при любом x∈ (1; 2), это значение a не подходит.
2) Если a = 1, мы получим следующее неравенство:
x² – 3x – 10 ≤ 0
Факторизуем его: (x – 5)(x + 2) ≤ 0
Найдем значения x, при которых неравенство выполняется: -2 ≤ x ≤ 5
Поскольку неравенство должно выполняться при любом x∈ (1; 2), это значение a не подходит.
3) Если a = 2, мы получим следующее неравенство:
x² – 5x – 8 ≤ 0
Факторизуем его: (x – 4)(x + 2) ≤ 0
Найдем значения x, при которых неравенство выполняется: -2 ≤ x ≤ 4
Поскольку неравенство должно выполняться при любом x∈ (1; 2), это значение a тоже не подходит.
4) Если a = 3, мы получим следующее неравенство:
x² – 7x – 4 ≤ 0
Факторизуем его: (x – 4)(x + 1) ≤ 0
Найдем значения x, при которых неравенство выполняется: -1 ≤ x ≤ 4
Поскольку неравенство должно выполняться при любом x∈ (1; 2), это значение a тоже не подходит.
5) Если a = 4, мы получим следующее неравенство:
x² – 9x ≤ 0
Факторизуем его: x(x – 9) ≤ 0
Найдем значения x, при которых неравенство выполняется: 0 ≤ x ≤ 9
Поскольку неравенство должно выполняться при любом x∈ (1; 2), это значение a тоже не подходит.
И так далее...
Мы можем продолжить этот процесс до тех пор, пока не найдем все значения a, при которых неравенство выполняется при любом x∈ (1; 2). Однако, данный метод может быть довольно трудоемким и занимать много времени.
Вместо этого можно воспользоваться графическим методом. Для этого мы строим график функции y = x² – (2a+1)x + а² + а – 12 и находим значения a, при которых график функции находится под осью x на интервале x∈ (1; 2).
На графике будет заметно, что когда значение a = -2, график функции находится под осью x на всем интервале x∈ (1; 2). Таким образом, a = -2 является единственным значением a, при котором неравенство x² – (2a+1)x + а² + а – 12 ≤ 0 выполняется при любом x∈ (1; 2).
Вот и все значения a, при которых неравенство выполняется при любом x∈ (1; 2): a = -2.
