Для начала, давайте попробуем найти самый простой клетчатый многоугольник, в который полностью поместится окружность x^2 + y^2 = 67. Окружность x^2 + y^2 = 67 имеет радиус sqrt(67). Для того чтобы найти самый простой клетчатый многоугольник, необходимо найти целые значения x и y, для которых равенство x^2 + y^2 = 67 выполняется. Обратимся к кругу с центром в начале координат (0,0) и радиусом sqrt(67). Найдем целые значения x и y, которые удовлетворяют равенству x^2 + y^2 = 67. Чтобы это сделать, мы должны проверить все возможные целочисленные значения для x и y, начиная с -sqrt(67) и заканчивая sqrt(67), и выбрать те значения, для которых равенство выполняется. Пройдемся по всем целым значениям x от -8 до 8 (так как -sqrt(67) примерно равно -8, а sqrt(67) примерно равно 8) и найдем соответствующие значения y для каждого значения x. Если равенство x^2 + y^2 = 67 выполняется для некоторых целых x и y, это будет означать, что точка (x, y) находится на окружности x^2 + y^2 = 67. Проверим каждое значение x: - При x = -8, y = sqrt(67 - (-8)^2) = sqrt(67 - 64) = sqrt(3). Но эта точка не является целочисленной, так что она нас не устраивает. - При x = -7, y = sqrt(67 - (-7)^2) = sqrt(67 - 49) = sqrt(18). Опять же, точка не целочисленная, поэтому мы идем дальше. - При x = -6, y = sqrt(67 - (-6)^2) = sqrt(67 - 36) = sqrt(31). И снова, точка не целочисленная. - При x = -5, y = sqrt(67 - (-5)^2) = sqrt(67 - 25) = sqrt(42). Также не целочисленное значение. - При x = -4, y = sqrt(67 - (-4)^2) = sqrt(67 - 16) = sqrt(51). Опять же, не целое. - При x = -3, y = sqrt(67 - (-3)^2) = sqrt(67 - 9) = sqrt(58). Также не целое. - При x = -2, y = sqrt(67 - (-2)^2) = sqrt(67 - 4) = sqrt(63). Снова не целочисленное. - При x = -1, y = sqrt(67 - (-1)^2) = sqrt(67 - 1) = sqrt(66). Точка не целая. - При x = 0, y = sqrt(67 - 0^2) = sqrt(67) = sqrt(67). Но это также не целое число. - При x = 1, y = sqrt(67 - 1^2) = sqrt(67 - 1) = sqrt(66). Опять же, не целочисленное. - При x = 2, y = sqrt(67 - 2^2) = sqrt(67 - 4) = sqrt(63). Также не целое. - При x = 3, y = sqrt(67 - 3^2) = sqrt(67 - 9) = sqrt(58). Опять же, не целое. - При x = 4, y = sqrt(67 - 4^2) = sqrt(67 - 16) = sqrt(51). Также не целое. - При x = 5, y = sqrt(67 - 5^2) = sqrt(67 - 25) = sqrt(42). Опять же, нет. - При x = 6, y = sqrt(67 - 6^2) = sqrt(67 - 36) = sqrt(31). Не целое. - При x = 7, y = sqrt(67 - 7^2) = sqrt(67 - 49) = sqrt(18). Снова не целое. - При x = 8, y = sqrt(67 - 8^2) = sqrt(67 - 64) = sqrt(3). Но это не целое число. Таким образом, ни одна из точек на окружности x^2 + y^2 = 67 не является целочисленной. Это означает, что самый простой клетчатый многоугольник не сможет полностью охватить окружность x^2 + y^2 = 67. Возможно, мы должны искать другой многоугольник, который бы мог полностью охватить окружность. Попробуем построить многоугольник с такими сторонами, которые лежат на прямых x=k для некоторого целого k или y=k для некоторого целого k. Давайте представим, что у нас есть клетчатый многоугольник P, внутри которого полностью находится окружность x^2 + y^2 = 67. Для удобства, предположим, что P имеет N сторон и все эти стороны лежат на прямых x=k или y=k. Посмотрим на две разные стороны многоугольника P. По предположению, они должны быть параллельны либо по горизонтале, либо по вертикали. Пусть одна из сторон лежит на прямой x=k. Тогда вторая сторона также должна лежать на прямой x=k или y=k. Рассмотрим случай, когда вторая сторона лежит на прямой y=k. Расстояние между этими двумя сторонами многоугольника равно |k1 - k2|, где k1 и k2 - целые числа. Но также эта дистанция равна разности значений y на этих сторонах. То есть, это будет равно |y1 - y2|, где y1 и y2 - целые значения, определяющие точки пересечения этих сторон с окружностью x^2 + y^2 = 67. Это означает, что |y1 - y2| будет являться делителем числа 67. Так как 67 - простое число, единственными возможными делителями будут 1 и 67. Значит, разность между y1 и y2 может быть либо 1, либо 67. В обоих случаях, клетчатый многоугольник P будет иметь стороны длины 1 или 67, и следовательно, его периметр будет равен N или 67N, где N - количество сторон многоугольника P. Поскольку мы ищем наименьшее значение периметра, мы хотим выбрать N таким образом, чтобы его периметр был минимальным. Заметим, что когда N = 2, периметр многоугольника будет равен 2, а когда N = 67, периметр будет равен 67. Нам нужно найти значение N, при котором периметр будет минимальным. Для этого мы можем записать два неравенства: - N >= 2 (нам нужно, чтобы многоугольник имел как минимум 2 стороны) - N <= 67 (нам нужно, чтобы многоугольник имел не более 67 сторон) Выполним перебор всех возможных значений N от 2 до 67 и найдем минимальное значение периметра многоугольника. При N = 2, периметр многоугольника будет равен 2. При N = 3, периметр многоугольника будет равен 3. При N = 4, периметр многоугольника будет равен 4. ... При N = 67, периметр многоугольника будет равен 67. Таким образом, наименьшее значение периметра многоугольника P будет равно 2, когда N = 2. Исходя из этого, самый простой клетчатый многоугольник, полностью охватывающий окружность x^2 + y^2 = 67, будет иметь периметр 2.