a) Найдем координаты векторов АВ и ВС. Для этого вычитаем из координат точки В координаты точки А и С соответственно: Вектор АВ = (3-1; 2-2; -1-3) = (2; 0; -4) Вектор ВС = (5-3; 8-2; -1-(-1)) = (2; 6; 0) б) Найдем абсолютную величину вектора АС. Для этого найдем длину вектора, используя формулу: |АС| = sqrt((5-1)^2 + (8-2)^2 + (-1-3)^2) = sqrt(16 + 36 + 16) = sqrt(68) = 2*sqrt(17) 2. Даны векторы а(3;-4;-3), b{-5;2;-4). Найдите координаты вектора с4 2b. Для получения координат вектора с4 2b умножаем каждую координату вектора b на 2, а затем складываем его с вектором а: c4 2b = 4a + 2b = (4*3 + 2*(-5); 4*(-4) + 2*2; 4*(-3) + 2*(-4)) = (12-10; -16+4; -12-8) = (2; -12; -20) 3. Векторы a и b будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Выпишем скалярное произведение и приравняем его к нулю: a*b = (-7)*1 + (-n)*5 + 3*n = -7 - 5n + 3n = 0 -7 - 5n + 3n = 0 -2n = 7 n = -7/2 При n = -7/2 векторы a и b перпендикулярны. 4. Векторы c и d будут коллинеарными (линейно зависимыми), если их координаты пропорциональны друг другу. Запишем соответствующие пропорции: c1/d1 = c2/d2 = c3/d3 14/(-6) = m/3 = -3/k -7/3 = m/3 m = -7 -7/(-3) = -3/k k = 9/3 k = 3 При m = -7 и k = 3 векторы c и d коллинеарны. 5. Точки A(2; 1; 5), B(0;-1;1), C(2;1;3) - вершины параллелограмма ABCD. Чтобы найти координаты точки D, нужно найти вектор суммы векторов AB и AC и прибавить его к точке C: Вектор AB = (0-2; -1-1; 1-5) = (-2; -2; -4) Вектор AC = (2-2; 1-1; 3-5) = (0; 0; -2) Вектор AD = Вектор CD = Вектор AB + Вектор AC = (-2; -2; -4) + (0; 0; -2) = (-2; -2; -6) Координаты точки D = Координаты точки C + Вектор AD = (2; 1; 3) + (-2; -2; -6) = (0; -1; -3) Чтобы найти длину сторон параллелограмма, нужно найти длину каждой стороны: Длина стороны AB = |Вектор AB| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(4 + 4 + 16) = sqrt(24) Длина стороны BC = |Вектор BC| = sqrt((2-0)^2 + (1-(-1))^2 + (3-1)^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) Длина стороны CD = |Вектор CD| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + (-6)^2) = sqrt(4 + 4 + 36) = sqrt(44) Длина стороны AD = |Вектор AD| = |Вектор CD| = sqrt(44) 6. Чтобы найти градусную меру угла М треугольника MNT, нужно найти длины сторон МN и MT и применить формулу косинусов, где косинус угла равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин: Вектор MN = (3-1; -1-(-1); 1-3) = (2; 0; -2) Вектор MT = (-1-1; 1-(-1); 3-1) = (-2; 2; 2) |MN| = sqrt((2)^2 + (0)^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 0 + 4) = sqrt(8) |MT| = sqrt((-2)^2 + (2)^2 + (2)^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) cos(угла М) = (MN*MT) / (|MN| * |MT|) = (2*(-2) + 0*2 + (-2)*2) / (sqrt(8) * sqrt(12)) = (-4 - 4) / (2 * sqrt(2) * sqrt(3)) = -8 / (2 * sqrt(2) * sqrt(3)) = -4 / (sqrt(2) * sqrt(3)) = -4 / (sqrt(6)) угол М = arccos(-4 / (sqrt(6))) Ответ: угол М = arccos(-4 / (sqrt(6))) в радианах.