Чтобы каждый студент получил по одной медали, нужно раздать 20 медалей. При этом нам нужно учесть, что у нас есть ограниченное количество золотых (5), серебряных (7) и бронзовых (8) медалей. Для начала рассмотрим, как можно раздать золотые медали. У нас есть 5 золотых медалей и 20 студентов, поэтому первому студенту можно выдать любую из 5 медалей, второму – любую из оставшихся 4, третьему – любую из оставшихся 3 и так далее. Таким образом, количество способов раздать золотые медали равно 5 * 4 * 3 * ... * 1 = 5!. Теперь рассмотрим раздачу серебряных медалей. Первому студенту, который уже получил золотую медаль, нельзя дать серебряную медаль. Поэтому второму студенту можно выдать любую из 7 медалей (т.к. первая уже занята), третьему студенту – любую из оставшихся 6 и так далее. Таким образом, количество способов раздать серебряные медали равно 7 * 6 * 5 * ... * 1 = 7!. Наконец, рассмотрим раздачу бронзовых медалей. Первые два студента уже получили медали, поэтому третьему студенту можно выдать любую из 8 медалей, четвертому – любую из оставшихся 7 и так далее. Таким образом, количество способов раздать бронзовые медали равно 8 * 7 * 6 * ... * 1 = 8!. Теперь мы можем применить принцип умножения: чтобы получить общее количество способов раздать все медали, нужно перемножить результаты для каждого типа медалей: 5! * 7! * 8!. Посчитаем это значение: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120; 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040; 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320. Таким образом, общее количество способов раздать медали равно: 120 * 5040 * 40320 = 2432902008176640000. Ответ: существует 2432902008176640000 способов раздать медали студентам.