Давайте разберемся, как команды могут играть между собой и какие результаты они могут получить. Из условия задачи уже известно, что команда Спорта выиграла 26 раз, а команда Науки 19 раз. Пусть команда Искусства выиграла соперников х раз. Если команда Спорта играет с командой Искусства, то команда Искусства должна проиграть, чтобы они могли сыграть партию с командой Науки. В этом случае команда Спорта получит победу, а команда Искусства будет отдыхать. Тогда команда Спорта выиграет (26 - х) партий, команда Науки выиграет 19 партий, а команда Искусства выиграет х партий. Теперь пусть команда Науки играет с командой Искусства. Если команда Науки проиграет, то они смогут сыграть с командой Спорта. В этом случае команда Искусства получит победу, а команда Науки будет отдыхать. Тогда команда Спорта выиграет (26 - х) партий, команда Науки выиграет (19 - х) партий, а команда Искусства выиграет х партий. Посмотрим на оба случая: 1) Команда Спорта выиграет (26 - х) партий, команда Науки выиграет 19 партий, а команда Искусства выиграет х партий. 2) Команда Спорта выиграет (26 - х) партий, команда Науки выиграет (19 - х) партий, а команда Искусства выиграет х партий. По условию задачи, всего было сыграно 45 партий, поэтому мы можем записать уравнение: (26 - х) + 19 + х + (26 - х) + (19 - х) + х = 45. Раскроем скобки: 26 - х + 19 + х + 26 - х + 19 - х + х = 45. Сократим слагаемые: 88 - 3х = 45. Перенесем слагаемые на разные стороны: 88 - 45 = 3х. 43 = 3х. Разделим обе части уравнения на 3: х = 14,33. Но число партий (х) может быть только целым числом. Значит, х = 14 или х = 15. Теперь найдем количество партий, в которых команда Науки играет со Спортом. Для этого мы должны вычесть из общего числа партий (45) количество партий, в которых команда Науки и Спорта отдыхают. В первом случае команда Науки отдыхает, когда команды Спорта и Искусства играют между собой. Это происходит х раз (14 или 15). Количество партий, в которых команды Науки и Спорта играют между собой, будет 19 - х. Во втором случае команда Науки отдыхает, когда команды Искусства и Науки играют между собой. Это происходит х раз (14 или 15). Тогда команды Науки и Спорта играют между собой (19 - х) партий. Таким образом, все возможные варианты встреч команд Науки и Спорта равны: 1) команды Науки и Спорта играют между собой 19 - 14 = 5 раз. 2) команды Науки и Спорта играют между собой 19 - 15 = 4 раза. Ответ: команды Науки и Спорта могли встретиться 4 или 5 раз.