Мы знаем, что команды спорта и науки играли вместе весь день, и команда спорта выиграла 26 раз, а команды науки - 19 раз. Нам нужно выяснить, сколько раз они могли встретиться. Давайте предположим, что команды науки выигрывали все свои встречи с командой спорта. В этом случае у команды науки было бы 19 побед. Тогда команда науки играла бы 19 раз с командой спорта. Но по условию задачи команда спорта выиграла 26 раз, а значит этот вариант не подходит. Теперь давайте рассмотрим другой вариант. Предположим, что команды науки и спорта выигрывали свои встречи друг с другом поровну. В этом случае у обеих команд было бы по 19 побед. Но по условию задачи команда спорта выиграла 26 раз, а значит этот вариант тоже не подходит. Остался только один вариант: команды науки выиграли все свои встречи с командой искусства, а команда спорта выиграла свои встречи с командой науки искусства. Таким образом, команды науки и спорта встречались 19 раз, а команда спорта выиграла 26 раз. Таким образом, возможный вариант встреч команд науки и спорта - 19 раз.