Дано, что квадратные трехчлены P(x) и Q(x) таковы, что P(x)⩽Q(x) тогда и только тогда, когда 4⩽x⩽9. То есть, P(x)⩽Q(x) при x=4, 5, 6, 7, 8, 9, и P(x)>Q(x) при x<4 или x>9. Известно, что P(0)−Q(0)=126. Чему равно P(1)−Q(1)? Чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторый алгебраический подход. Обозначим P(x) как ax^2+bx+c и Q(x) как dx^2+ex+f, где a, b, c, d, e и f - некоторые неизвестные коэффициенты. Так как P(0)−Q(0)=126, подставляем x=0 в оба трехчлена: P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c, Q(0) = d(0)^2 + e(0) + f = f. Тогда получаем, что c - f = 126. Также из условия P(x)⩽Q(x) при 4⩽x⩽9, вспоминаем наше представление для P(x) и Q(x) и устанавливаем неравенства: ax^2+bx+c ⩽ dx^2+ex+f, Теперь подставляем 4 вместо x: a(4)^2+b(4)+c ⩽ d(4)^2+e(4)+f. 16a + 4b + c ⩽ 16d + 4e + f. Аналогично, подставляем 9 вместо x: 81a + 9b + c ⩽ 81d + 9e + f. Теперь мы можем рассмотреть промежутки значений P(x) и Q(x) на основе неравенств. Так как P(x)⩽Q(x) только при 4⩽x⩽9, получаем: 16a + 4b + c ⩾ 81d + 9e + f (для x < 4 и x > 9). Учитывая, что P(x)>Q(x) для любого значения x до 4 и после 9, получаем: 16a + 4b + c > 81d + 9e + f (для x < 4 и x > 9). Уравнение c - f = 126 может быть переписано как c = f + 126. Теперь мы можем рассмотреть значения P(1) и Q(1) на основе наших представлений. При x=1: P(1) = a(1)^2 + b(1) + c, Q(1) = d(1)^2 + e(1) + f. Теперь вычитаем Q(1) из P(1): P(1) - Q(1) = (a(1)^2 + b(1) + c) - (d(1)^2 + e(1) + f), P(1) - Q(1) = a - d + b - e + (c - f). Из уравнения c - f = 126, получаем: P(1) - Q(1) = a - d + b - e + 126. Таким образом, P(1) - Q(1) равно a - d + b - e + 126. Дополнительно, мы знаем, что P(x)⩽Q(x) при x=4, 5, 6, 7, 8, 9. Это означает, что неравенства должны выполняться для этих значений x. То есть, для всех x в этом диапазоне выполняются следующие неравенства: 16a + 4b + c ⩽ 81d + 9e + f. Подставляем x=4: 16a + 4b + c ⩽ 81d + 9e + f, и подставляем x=5, 6, 7, 8, 9: 25a + 5b + c ⩽ 81d + 9e + f, 36a + 6b + c ⩽ 81d + 9e + f, 49a + 7b + c ⩽ 81d + 9e + f, 64a + 8b + c ⩽ 81d + 9e + f, 81a + 9b + c ⩽ 81d + 9e + f. Из этих неравенств мы можем заключить, что a ⩾ d, b ⩾ e и 16a + 4b + c ⩾ 81d + 9e + f. Таким образом, мы можем получить небольшой набор неравенств: a ⩾ d, b ⩾ e, 16a + 4b + c > 81d + 9e + f, 16a + 4b + c = 81d + 9e + f - 1, 16a + 4b + c = 81d + 9e + f - 2, ... 16a + 4b + c = 81d + 9e + f - 125. условия на a, b, c, d, e и f: a ⩾ d, b ⩾ e. Так как P(x) - Q(x) равно a - d + b - e + 126, и у нас нет доступной дополнительной информации о значениях переменных или ограничений на их диапазоны, мы не можем найти точное значение P(1) - Q(1). Мы можем только установить, что P(1) - Q(1) будет равно a - d + b - e + 126, и конкретное значение будет зависеть от значений a, b, c, d, e и f, которые мы не знаем.