Пусть P(x) = ax^2 + bx + c и Q(x) = dx^2 + ex + f - два квадратных трехчлена.
Из условия задачи мы знаем, что P(x) ≤ Q(x) тогда и только тогда, когда 5 ≤ x ≤ 8. Поэтому воспользуемся этим неравенством для нахождения значений коэффициентов a, b, c, d, e и f.
Заметим, что квадратные трехчлены P(x) и Q(x) могут иметь одну и ту же вершину параболы, если коэффициенты a и d положительны и равны. Поэтому предположим, что a = d > 0.
Также мы знаем, что P(0) - Q(0) = 100. Подставим значения x = 0 в P(x) и Q(x) и сравним полученные значения:
P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c
Q(0) = d(0)^2 + e(0) + f = f
Тогда получаем, что c - f = 100. (1)
Теперь найдем P(1) - Q(1):
P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
Q(1) = d(1)^2 + e(1) + f = d + e + f
Тогда P(1) - Q(1) = (a + b + c) - (d + e + f) = (a - d) + (b - e)
Мы видим, что нам нужно найти значения a - d и b - e.
Воспользуемся фактом, что P(x) ≤ Q(x) тогда и только тогда, когда 5 ≤ x ≤ 8.
Подставим x = 5 в неравенства P(x) ≤ Q(x):
P(5) ≤ Q(5)
a(5)^2 + b(5) + c ≤ d(5)^2 + e(5) + f
25a + 5b + c ≤ 25d + 5e + f
25a - 25d ≤ 5e - 5b + f - c
Также подставим x = 8 в неравенства P(x) ≤ Q(x):
P(8) ≤ Q(8)
a(8)^2 + b(8) + c ≤ d(8)^2 + e(8) + f
64a + 8b + c ≤ 64d + 8e + f
64a - 64d ≤ 8e - 8b + f - c
Мы имеем систему уравнений:
25a - 25d ≤ 5e - 5b + f - c
64a - 64d ≤ 8e - 8b + f - c
Мы также знаем, что a = d. Подставим это в систему:
25a - 25a ≤ 5e - 5b + f - c
64a - 64a ≤ 8e - 8b + f - c
0 ≤ 5e - 5b + f - c
0 ≤ 8e - 8b + f - c
Теперь мы получили систему неравенств:
5e - 5b + f - c ≥ 0 (2)
8e - 8b + f - c ≥ 0 (3)
Составим систему уравнений и неравенств на основе полученных результатов:
a = d
c - f = 100
5e - 5b + f - c ≥ 0
8e - 8b + f - c ≥ 0
Нам нужно найти a - d и b - e, поэтому запишем систему в виде матрицы:
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 1 0 -1 0| |b| |b |
|0 0 -1 0 1 -1| |c| = |c |
|0 -1 0 1 0 0| |d| |d |
|0 5 -5 0 0 1| |e| |e |
|0 8 -8 0 0 1| |f| |f |
Решим эту систему уравнений и неравенств методом Гаусса:
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 -1 0 1 0 0| |b| |b |
|0 0 1 0 -1 0| |c| = |c |
|0 0 -1 0 1 -1| |d| |d |
|0 5 -5 0 0 1| |e| |e |
|0 8 -8 0 0 1| |f| |f |
(2) + (3):
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 0 1 0 -1| |b| |b |
|0 0 1 0 -1 0| |c| = |c |
|0 0 -1 0 1 -1| |d| |d |
|0 5 -5 0 0 1| |e| |e |
|0 0 0 0 0 0| |f| |f |
Переставим строки для удобства:
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 1 0 -1 0| |c| |c |
|0 0 -1 0 1 -1| |d| |d |
|0 0 5 0 0 -5| |e| = |e |
|0 5 -5 0 0 1| |b| |b |
|0 0 0 0 0 0| |f| |f |
(2) - (3):
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 1 0 -1 0| |c| |c |
|0 0 0 0 0 1| |d| |d |
|0 0 5 0 0 -5| |e| = |e |
|0 5 -5 0 0 1| |b| |b |
|0 0 0 0 0 0| |f| |f |
Умножим строку (4) на 1/5:
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 1 0 -1 0| |c| |c |
|0 0 0 0 0 1| |d| |d |
|0 0 1 0 0 -1| |e| = |e |
|0 5 -5 0 0 1| |b| |b |
|0 0 0 0 0 0| |f| |f |
(2) + (4):
|1 0 0 0 0 0| |a| |a |
|0 0 1 0 -1 0| |c| |c |
|0 0 0 0 0 1| |d| |d |
|0 0 1 0 0 -1| |e| = |e |
|0 5 0 0 -1 1| |b| |b |
|0 0 0 0 0 0| |f| |f |
Теперь у нас есть:
a = a
c = c
d = d
e = e
5b - a + c - d + e = 0
Мы знаем, что P(0) - Q(0) = 100, поэтому:
P(0) - Q(0) = 0 - 0 = a(0)^2 + b(0) + c - d(0)^2 - e(0) - f = 100
c - f = 100
Таким образом, наше решение должно удовлетворять этому условию.
Изначально мы предположили, что a = d. Теперь, чтобы упростить наше выражение 5b - a + c - d + e = 0, мы можем предположить, что a - d = 0, чтобы избавиться от двух переменных.
Теперь у нас есть:
a = a
c = c
d = a
e = e
5b - a + c - a + e = 0
Преобразуем последнее выражение:
5b - 2a + c + e = 0
Мы должны найти значение P(1) - Q(1), что означает, что нам нужно найти значение (a + b + c) - (a + d + c), что упрощается до b - d.
У нас есть a = a, c = c и d = a, поэтому мы можем предположить, что a = 1, c = 0 и d = 1, чтобы упростить наше выражение.
Тогда у нас есть:
a = 1
c = 0
d = 1
e = e
5b - 2a + c + e = 0
Возвращаясь к (1), мы знаем, что c - f = 100, поэтому c = 0 и f = -100:
a = 1
c = 0
d = 1
e = e
5b - 2a + c + e = 0
c - f = 100
Итак, P(x) = x^2 и Q(x) = x^2 - 100.
Теперь нам нужно найти значение P(1) - Q(1):
P(1) = 1^2 = 1
Q(1) = 1^2 - 100 = -99
P(1) - Q(1) = 1 - (-99) = 1 + 99 = 100
Таким образом, P(1) - Q(1) = 100.
