Обозначим два квадратных трёхчлена, P(x) = ax^2 + bx + c и Q(x) = dx^2 + ex + f. Заметим, что трехчлен P(x) - Q(x) = (a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f). Так как P(x) ≤ Q(x), то коэффициенты трёхчленов a - d, b - e и c - f должны быть неотрицательными. Пусть п(х) — трёхчлен P(х) — Q(0). Получаем следующую систему уравнений: 1) (a - d) * 0^2 + (b - e) * 0 + (c - f) = 100 2) a - d ≥ 0 3) b - e ≥ 0 4) c - f ≥ 0. Из уравнения (1) следует, что c - f = 100. Получаем, что п(0) = 100 и что тройка коэффициентов a - d, b - e и (c - f) равны [0, 0, 100] и удовлетворяют ограничениям (2), (3) и (4). Так как P(x) ⩽ Q(x) только при 5 ⩽ x ⩽ 8, то мы можем записать систему неравенств: (5 * 5^2 + 5 * a + b) - (5 * d + 5 * e + f) ⩾ 0, (6 * 6^2 + 6 * a + b) - (6 * d + 6 * e + f) ⩾ 0, (7 * 7^2 + 7 * a + b) - (7 * d + 7 * e + f) ⩾ 0, (8 * 8^2 + 8 * a + b) - (8 * d + 8 * e + f) ⩾ 0. Сократим каждое неравенство: 155a - 4d - e ⩾ -125, 200a - 4d - e ⩾ -224, 259a - 4d - e ⩾ -325, 332a - 4d - e ⩾ -432. Добавим к этой системе ограничения на тройку коэффициентов a - d, b - e и (c - f) из (2), (3) и (4): a - d ⩾ 0, b - e ⩾ 0, 100 ⩾ c - f = 100. Тогда получаем следующую систему неравенств: 155a - 4d - e ⩾ -125, 200a - 4d - e ⩾ -224, 259a - 4d - e ⩾ -325, 332a - 4d - e ⩾ -432, a - d ⩾ 0, b - e ⩾ 0, 100 ⩾ 0. Для нахождения значения P(1) - Q(1) заметим, что P(1) - Q(1) = а - d + 100(как c - f = 100). Мы уже знаем, что a - d ⩾ 0 и получим P(1) - Q(1) = a - d + 100. Оптимальное значение P(1) - Q(1) будет найдено, когда тройка коэффициентов a - d, b - e и (c - f) будет минимальной. Получается, нам нужно решить данную систему неравенств и найти значение P(1) - Q(1) из решения. Систему неравенств можно решить графически. Однако мы будем использовать математическое программирование для нахождения минимального значения тройки коэффициентов a - d, b - e и (c - f). Заметим, что у нас есть 7 переменных a, b, c, d, e, f и P(1) - Q(1) (так как для этой переменной нет неравенства). Ограничения формируют систему u1 * w1 ≥ b1, у2 * w2 ≥ b2, ..., um * wm ≥ bm, где u = (a, b, c, d, e, f, 1), w — вектор переменных (a, b, c, d, e, f, P(1) - Q(1)) и b = (-125, -224, -325, -432, 0, 0 ,100). Теперь мы можем решить оптимизационную задачу поиска минимального значения тройки коэффициентов a - d, b - e и (c - f): Минимизировать (a - d + 100) при ограничениях: 155a - 4d - e ⩾ -125, 200a - 4d - e ⩾ -224, 259a - 4d - e ⩾ -325, 332a - 4d - e ⩾ -432, a - d ⩾ 0, b - e ⩾ 0, 100 ⩾ 0. Данная задача математического программирования может быть решена с использованием решателя или оптимизационного программного обеспечения. Получив оптимальные значения переменных a - d, b - e и (c - f), мы найдем P(1) - Q(1), который будет равен (a - d + 100).